【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),P是拋物線上一點(diǎn) (點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合).
(1)b= ,點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ;
(2)設(shè)直線PB直線AC交于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PM:MB=1:2?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)連接AC、BC,判斷∠CAB和∠CBA的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1);(,0);(2)存在點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或.(3)∠CBA=2∠CAB.理由見解析.
【解析】
(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo),利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出b的值,代入y=0求出x值,進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)(解法一)代入x=0求出y值,進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo),由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m+2),分B、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況考慮,由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)結(jié)合PM:MB=1:2即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo),再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論;
(解法二)代入x=0求出y值,進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo),由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,過點(diǎn)B作BB′∥y軸交直線AC于點(diǎn)B′,過點(diǎn)P作PP′∥y軸交直線AC于點(diǎn)P′,由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出BB′的值,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得出PP′的值,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-x2-x+2),則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(x,x+2),結(jié)合PP′的值可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論;
(3)作∠CBA的角平分線,交y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,設(shè)OE=n,則CE=2-n,EF=n,利用面積法可求出n值,進(jìn)而可得出,結(jié)合∠AOC=90°=∠BOE可證出△AOC∽△BOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠CAO=∠EBO,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB,此題得解.
(1)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上,
,
.
當(dāng)時(shí), 有,
解得:,,
點(diǎn)的坐標(biāo)為,.
故答案為:;,.
(2) (方 法一) 當(dāng)時(shí),,
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)直線的解析式為,
將、代入中,
得:,解得:,
直線的解析式為.
假設(shè)存在, 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
①當(dāng)點(diǎn)、在直線的異側(cè)時(shí), 點(diǎn)的坐標(biāo)為,,
點(diǎn)在拋物線上,
,
整理, 得:.
△,
方程無(wú)解, 即不存在符合題意得點(diǎn);
②當(dāng)點(diǎn)、在直線的同側(cè)時(shí), 點(diǎn)的坐標(biāo)為,,
點(diǎn)在拋物線上,
,
整理, 得:,
解得:,,
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或.
綜上所述: 存在點(diǎn),使得,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或.
(3),理由如下:
作的角平分線, 交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),如圖 2 所示 .
點(diǎn),,點(diǎn),
,,.
設(shè),則,,
由面積法, 可知:,即,
解得:.
,,
,
,
.
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A. AB=24m B. MN∥AB
C. △CMN∽△CAB D. CM:MA=1:2
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(1)按約定,“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是 事件;(可能,必然,不可能)
(2)請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法,求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象C經(jīng)過(-5,0),,(1,6)三點(diǎn),直線l的解析式為y=2x-3.
(1)求拋物線C的解析式;
(2)判斷拋物線C與直線l有無(wú)交點(diǎn);
(3)若與直線l平行的直線y=2x+m與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在中,弦AB,CD相交于點(diǎn)E,=,點(diǎn)D在上,連結(jié)CO,并延長(zhǎng)CO交線段AB于點(diǎn)F,連接OA,OB,且OA=2,∠OBA=30°
(1)求證:∠OBA=∠OCD;
(2)當(dāng)AOF是直角三角形時(shí),求EF的長(zhǎng);
(3)是否存在點(diǎn)F,使得,若存在,請(qǐng)求出EF的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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