【題目】已知,如圖,a,b,c分別是ΔABC中∠A,∠B,∠C的對邊,P為BC上一點(diǎn),以AP為直徑的圓O交AB于D,PE∥AB交AC于E,b,c是方程x2+kx+9=0的兩根,且(b2+c2)(b2+c2-14)-72=0,銳角B的正弦值等于。
(1)求K的值;
(2)設(shè)BD=x,求四邊形ADPE的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)問圓O是否能與BC相切?若能請求出x的值;若不能,請說明理由。
【答案】(1)k=-6 (2)(3)能, .
【解析】試題分析:(1)求出b2+c2=18,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出b+c=-k,bc=9,代入得出方程(-k)2-2×9=18,求出即可;
(2)求出方程的解,得出AB=AC=3,根據(jù)sinB==,設(shè)PD=2y,PD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理求出y=x,得出PD=2x,PB=3x,求出BC,根據(jù)△CPE∽△CBA,得出比例式求出PE,代入S=(PE+AD)×PD求出即可;(3)根據(jù)圓的切線的性質(zhì),當(dāng)∠APB=90°時,圓O能與BC相切,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BD=DC=,根據(jù)PB=3x=求出即可.
試題解析:(1)∵(b2+c2)(b2+c214)72=0,
∴(b2+c2)214(b2+c2)72=0,
解得:b2+c2=18,b2+c2=4(舍去),
∵b,c是方程x2+kx+9=0的兩根,
∴b+c=k,bc=9,
∴b2+c2=(b+c)22bc=18,
即(k)22×9=18,
解得:k=6,k=6,
∵b+c=k,c、b是三角形的邊長,
∴k=6舍去,
即k=6;
(2)把k=6代入方程得:x26x+9=0,
解得:x1=x2=3,
即b=c=3,
AB=AC=3,
∵AP是直徑,
∴∠ADP=90=∠BDP,
∵sinB=,
∴=,
設(shè)PD=y,BD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理得:PD2+BD2=PB2,
即(y)2+x2=(3y)2,
解得:y=x,
PD=x,PB=3x,
過A作AN⊥BC于N,
∵AB=3,sinB=,
∴AN=,
由勾股定理得:BN=1,
∵AB=AC,AN⊥BC,
∴CN=BN=1,
BC=2,
∵PE∥AB,
∴△CPE∽△CBA,
∴,
∴,
∴PE=x+3,
∴四邊形ADPE的面積S= (PE+AD)×PD=×(x+3+3x)×x=x2+x,
答:四邊形ADPE的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=x2+x.
(3)圓O能與BC相切,
理由是:根據(jù)圓的切線的性質(zhì),當(dāng)∠APB=90時,圓O能與BC相切,
∵AP是直徑,
∴∠ADP=90,
∵AC=AB=3,BC=2,
∴BD=DC=1,
由(2)知:PB=3x=1,
x=,
答:圓O能與BC相切,x的值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B,C在AE的異側(cè),BD⊥AE于點(diǎn)D,CE⊥AE于點(diǎn)E.
(1)求證:BD=DE+CE;
(2)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(BD<CE),其余條件不變,問BD與DE,CE的關(guān)系如何,請證明;
(3)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3時(BD>CE),其余條件不變,BD與DE,CE的關(guān)系怎樣?請直接寫出結(jié)果,不須證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A. 三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)
B. 直角三角形只有一條高
C. 三角形的角平分線其實(shí)就是角的平分線
D. 三角形的角平分線、中線、高都在三角形的內(nèi)部
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于以BC為直徑的圓O,且AB=AD,延長CB、DA交于P,當(dāng)PB=BO,CD=18時,求:
(1)⊙O的半徑長;
(2)PA的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別在AC,BC上,且∠CDE=∠B,將△CDE沿DE折疊,點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處.若AC=8,AB=10,則CD的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個等腰三角形的兩邊長分別是3cm和7cm,則它的周長為( 。
A. 17cm B. 15cm C. 13cm D. 13cm或17cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=12cm,C為AB延長線上一點(diǎn),CP與⊙O相切于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作弦BD∥CP,連接PD.
(1)求證:點(diǎn)P為的中點(diǎn);
(2)若∠C=∠D,求四邊形BCPD的面積.
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