Question

【題目】如圖①，先把一矩形紙片上下對折，設(shè)折痕為；如圖②，再把

點(diǎn) 疊在折痕線上，得到 ．過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、．

（1）求證： ∽；

（2）在圖②中，如果沿直線再次折疊紙片，點(diǎn)能否疊在直線上？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）由題意可以得到∠BPE=∠AQB=90°，通過角的轉(zhuǎn)化可以得到∠BEP=∠ABQ，從而可以得到△PBE∽△QAB；

（2）根據(jù)折疊的知識(shí)可以得到QB=PB，由第（1）問中的相似可以得到對應(yīng)邊成比例，通過轉(zhuǎn)化可以得到△PBE∽△BAE，從而可以解答本題；

（3）由題意和第（2）問可以得到∠AEB=∠BEP=60°，∠ABE=90°，又因?yàn)?/span>AB=，sin∠AEB=，從而可以得到AE的長度．

試題解析：（1）證明：∵PQ⊥MN，BN∥EC∥AD，∴∠BPE=∠AQB=∠PBN=∠NBQ=90°，∴∠PBE+∠BEP=90°，又∵∠PBE+∠ABQ=180°﹣∠ABE=180°﹣90°=90°，∴∠BEP=∠ABQ，在△PBE和△QAB中，∵∠BPE=∠AQB，∠BEP=∠ABQ，∴△PBE∽△QAB；

（2）點(diǎn)A能疊在直線EC上，理由：∵△PBE∽△QAB，∴ ，∵由折疊可知，QB=PB，∴，即，又∵∠ABE=∠BPE=90°，∴△PBE∽△BAE，∴∠AEB=∠PEB，∴沿直線EB再次折疊紙片，點(diǎn)A能疊在直線EC上；

（3）解：由（2）可知，∠AEB=∠PEB，而由折疊過程知：2∠AEB+∠PEB=180°，∴∠AEB=∠PEB=60°，在Rt△ABE中，sin∠AEB=，∴AE=．