Question

如圖1，在x軸正半軸上以O(shè)B為斜邊、BC為直角邊向第一象限分別作等腰Rt△AOB和Rt△CDB． OA=8，BC=4，在∠ABD內(nèi)有一半徑為1，且與AB、BD相切的⊙P．
（1）寫出⊙P的圓心坐標(biāo)；
（2）若△CDB在x軸上以每秒2個(gè)單位的速度向左勻速平移，⊙P同時(shí)相應(yīng)在BA和BD上滑動(dòng)，且保持與BA、BD相切，至⊙P終止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示P點(diǎn)坐標(biāo)；并證明P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為定值；
（3）如圖2，過D點(diǎn)作x軸的平行線交AB于E，D’B’與AB交于M，在滿足（2）的前提下，t取何值時(shí)，⊙P可成為△D’EM的內(nèi)切圓；如果⊙P與DE相切于點(diǎn)F，求△AEF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；
（2）由等腰直角三角形BBM的性質(zhì)可知：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為8

2

-t，把P點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)用t表示出來，從而找出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系．
（3）當(dāng)⊙P成為△D′EM的內(nèi)切圓時(shí)，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)，分別求出D′M，B′M，D′M，BB′，再根據(jù)已知關(guān)系求出t值，從而求出三角形AEF的面積．

解答：解：

（1）作PM⊥AB，
∵圓P與AB、BD與P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x軸，
而BP=

2

r=

2

，OB=

2

OA=8

2

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為8

2

，縱坐標(biāo)為

2

，則P（8

2

，

2

），

（2）根據(jù)題意可知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為8

2

-t，縱坐標(biāo)為

2

+t，則P（8

2

-t，

2

+t），
因?yàn)?

2

-t+

2

+t=9

2

，所以P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為定值；

（3）當(dāng)⊙P成為△D′EM的內(nèi)切圓時(shí)，D′M=2+

2

，B′M=4

2

-D′M=3

2

-2，BB′=6-2

2

，
即2t=6-2

2

，得t=3-

2

，
S_△AEF=

1

2

×（

2

+1）（4

2

-

2

-1-3+

2

）=2．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，考查正方形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)及圖形面積的求法，作為壓軸題，綜合了初中階段的重點(diǎn)知識(shí)，能夠培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．