Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分線交⊙O于D，連接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2．

（1）求AD的長(zhǎng)度和四邊形ACBD的面積；

（2）證明：2AD2=AC2+BC2．

Answer 1

【答案】（1）AD＝3，四邊形ACBD的面積為9+4；（2）見解析．

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根據(jù)∠ACB的平分線可得，進(jìn)而可得AD＝BD，再根據(jù)勾股定理即可求出AD、AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求得四邊形ACBD的面積；

（2）根據(jù)（1）可知AD＝BD，根據(jù)勾股定理即可得證．

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

∵∠ACB的平分線交⊙O于D，

∴，

∴AD＝BD，

∵在Rt△ABC中，AD2+BD2＝AB2，

∴AD＝BD＝×AB＝3，

∵在Rt△ABC中，AC＝，

∴四邊形ACBD的面積＝×AD×BD+×BC×AC＝9+4；

（2）∵∠ACB＝∠ACD＝90°，

∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，

∴AD2+BD2＝AC2+BC2，

又∵AD＝BD，

∴2AD2=AC2+BC2．