Question

（11·臺(tái)州）(14分)已知拋物線y＝a(x－m)²＋n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為

點(diǎn)B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直

線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．

(1)如圖1，求拋物線y＝(x－2)²＋1的伴隨直線的解析式．

(2)如圖2，若拋物線y＝a(x－m)²＋n(m＞0)的伴隨直線是y＝x－3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．

(3)如圖3，若拋物線y＝a(x－m)²＋n的伴隨直線是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴隨四邊形ABCD是矩形．

①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；

②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD是一個(gè)等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）由已知得B (2，1)，A(0，5)．                 ……………………1分

設(shè)所求直線的解析式為y＝kx＋b，     ……………………1分

，

∴所求直線的解析式為y＝－2x＋5   ……………………1分

（2）如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(0，－3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (0，3)                   ……………………1分

可得AC＝6                                    ……………………1分

∵□ABCD的面積為12，

∵m＞0，即頂點(diǎn)B有y軸的右側(cè)，且在直線y＝x－3上，

∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為B (2，－1)                    ……………………1分

又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (0，－3)

（3）①方法一：如圖，作BE⊥x軸于點(diǎn)E

由已知得：A的坐標(biāo)為 (0，b)，C的坐標(biāo)為 (0，－b)．

∵頂點(diǎn)B (m，n)在直線y＝－2x＋b上，

∴n＝－2m＋b，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，－2m＋b)    ……………………1分

在矩形ABCD中，OC＝OB，

OC²＝OB²

即b²＝m²＋(－2m＋b) ²

∴5m²－4mb＝0

∴m (5m－4b)＝0

方法二：如圖，作BE⊥x軸于點(diǎn)E

類(lèi)似方法一可得：A的坐標(biāo)為 (0，b)，C的坐標(biāo)為 (0，－b)．

∵頂點(diǎn)B (m，n)在直線y＝－2x＋b上，

∴n＝－2m＋b，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，－2m＋b)    ……………………1分

∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m

CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m，

∵AB⊥BC于點(diǎn)B，

∴△ABC∽△AEB，

BE²＝AE·CE，即m²＝2m(2b－2m)，

 

 

 

（只寫(xiě)“存在”的給1分）

解析:略