Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-9），
①求二次函數(shù)的解析式．
②點(diǎn)E在①中的拋物線上，四邊形ABCE是以AB為一底邊的梯形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
③在①、②成立的條件下，過(guò)點(diǎn)E作直線EF⊥OA，垂足為F，直線EF與線段AD相交于點(diǎn)G，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：①已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，把三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以得到一個(gè)三元一次方程組，就可以求出函數(shù)的解析式；
②由題意和圖象可知CE∥AB，可求的E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，把-1代入y=

2

3

x²+

4

3

x-2．可求的點(diǎn)E橫坐標(biāo)．
③首先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)Rt△AFG∽R(shí)t△AOD，則

AF

AO

=

FG

OD

=

1

3

，求得G（-2，-3），H（0，-3），根據(jù)Rt△AFE≌Rt△BOC，所以AE=BC，所以梯形ABCE是等腰梯形，所以∠BAE=∠ABC．當(dāng)∠GMH=∠ABC，可以推知Rt△GHM≌Rt△COB，所以HM=OB=1．然后分類討論：點(diǎn)M在線段OH上和點(diǎn)M在線段HD上，設(shè)出直線PG的解析式并求出來(lái)，根據(jù)P既在PG上，又在拋物線上列出方程組，如果有解，就可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，同時(shí)說(shuō)明點(diǎn)P的存在；如果方程組無(wú)解，說(shuō)明點(diǎn)P不存在．

解答：解：①y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），三點(diǎn)，

0=9a-3b+c 0=a+b+c -2=c

解得：a=

2

3

，b=

4

3

，c=-2．
∴y=

2

3

x²+

4

3

x-2．

②由題意和圖象可知CE∥AB，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∴-2=

2

3

x²+

4

3

x-2．
即x²+2x=0，
∴x₁=0（舍），x₂=-2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）；
       
③答：存在．
設(shè)直線PG與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥OD于H．
∵點(diǎn)G在AD上，GF∥OD，E（-2，-2），
∴F（-2，0）．
又∵∠FAG=∠OAD，∠AFG=∠AOD=90°，
∴Rt△AFG∽R(shí)t△AOD，
∴

AF

AO

=

FG

OD

=

1

3

．
又∵OD=9，
∴FG=3，
∴G（-2，-3），H（0，-3）．
∵AF=BO=1，F(xiàn)E=OC=2，
易證Rt△AFE≌Rt△BOC，
∴AE=BC，
∴梯形ABCE是等腰梯形，
∴∠BAE=∠ABC．當(dāng)∠GMH=∠ABC，可以推知Rt△GHM≌Rt△COB，
∴HM=OB=1．
①當(dāng)點(diǎn)M在線段OH上時(shí)，則M（0，-2）．設(shè)P（x₁，y₁），直線PG的解析式為y=k₁x+b₁，則

-2k1+b1=-3 b1=-2

，
解得，k₁=

1

2

，
則y=

1

2

x-2．
∵點(diǎn)P既在PG上，又在拋物線上，
∴

y1= 1 2 x1-2 y1= 2 3 x 2 1 + 4 3 x1-2

，
解得，

x1=0 y1=-2

或

x1=- 5 4 y1=- 21 8

，
則P（0，-2）或（-

5

4

，-

21

8

）；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段HD上時(shí)，則M（0，-4）．
設(shè)P（x₂，y₂），易求直線PG的解析式為y=

1

2

x-4．
∵點(diǎn)P既在PG上，又在拋物線上，
∴

y2= 1 2 x2-4 y2= 2 3 x 2 2 + 4 3 x2-2

，
∴4

x

2 2

+11x₂+12=0，
∵△=-71，∴點(diǎn)P不存在．
綜上所述，拋物線上存在符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，P（0，-2）或（-

5

4

，-

21

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．綜合性強(qiáng)，能力要求極高．