Question

如圖，過(guò)上到點(diǎn)的距離為1，3，5，7，…的點(diǎn)作的垂線(xiàn)，分別與相交，得到圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為…．則

（1）        ；
（2）通過(guò)計(jì)算可得       ．

Answer 1

,

解析分析：（1）分析知奇數(shù)的通式為：2n-1（n為正整數(shù)），設(shè)陰影梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)分別為a和b，則可以表達(dá)出Sn的表達(dá)式，將每個(gè)梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)代入，求解即可；
（2）第2009個(gè)梯形前面已有2008×2個(gè)奇數(shù)，2009個(gè)梯形上底距點(diǎn)O的距離為第2008×2+1個(gè)奇數(shù)，下底為第2008×2+2個(gè)奇數(shù)．
解答：解：（1）設(shè)陰影梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)分別為a和b，
則上底長(zhǎng)為btan∠AOB，下底長(zhǎng)為atan∠AOB，
∴S_n=b×btan∠AOB-a×atan∠AOB=（b²-a²），
又∵梯形1距離點(diǎn)O的距離a=1，b=3，
∴S₁=（3²-1²）=；
（2）第2009個(gè)梯形前面已有2008×2個(gè)奇數(shù)，
2009個(gè)梯形上底距點(diǎn)O的距離為第2008×2+1個(gè)奇數(shù)，
下底為第2008×2+2個(gè)奇數(shù)，
∴第2009個(gè)梯形的兩邊長(zhǎng)分別為：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S₂₀₀₉=（8035²-8033²）=．
故答案為, ．