(2013•門頭溝區(qū)二模)已知:在△AOB與△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.

(1)如圖1,點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上,連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM,則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是
AD=2OM
AD=2OM
,位置關(guān)系是
AD⊥OM
AD⊥OM
;
(2)如圖2,將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°).連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM.請你判斷(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí),點(diǎn)C落在OB上,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn).請你判斷(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,寫出你的猜想,并加以證明.
分析:(1)AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系為AD=2OM,位置關(guān)系是AD⊥OM;
(2)(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立,理由為:如圖2所示,延長BO到F,使FO=BO,連接CF,由M、O分別為BC、BF的中點(diǎn),得到OM為三角形BCF的中位線,利用中位線定理得到FC=2OM,利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到FC=AD,等量代換得到AD=2OM;由OM為三角形BCF的中位線,利用中位線定理得到OM與CF平行,利用兩直線平行同位角相等得到∠BOM=∠F,由全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠F=∠OAD,等量代換得到∠BOM=∠OAD,根據(jù)∠BOM與∠AOM互余,得到∠OAD與∠AOM互余,即可確定出OM與AD垂直,得證;
(3)(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,理由為:如圖3所示,延長DC交AB于E,連結(jié)ME,過點(diǎn)E作EN⊥AD于N,由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到四個(gè)角為45度,進(jìn)而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形,根據(jù)EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN,再利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形,可得出EN=OM,等量代換得到AD=2OM.
解答:
解:(1)線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM,位置關(guān)系是AD⊥OM;


(2)(1)的兩個(gè)結(jié)論仍然成立,理由為:
證明:如圖2,延長BO到F,使FO=BO,連結(jié)CF,
∵M(jìn)為BC中點(diǎn),O為BF中點(diǎn),
∴MO為△BCF的中位線,
∴FC=2OM,
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC,即∠AOD=∠FOC,
在△AOD和△FOC中,
OA=OF
∠AOD=∠FOC
OC=OD
,
∴△AOD≌△FOC(SAS),
∴FC=AD,
∴AD=2OM,
∵M(jìn)O為△BCF的中位線,
∴MO∥CF,
∴∠MOB=∠F,
又∵△AOD≌△FOC,
∴∠DAO=∠F,
∵∠MOB+∠AOM=90°,
∴∠DAO+∠AOM=90°,即AD⊥OM;


(3)(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,理由為:
證明:如圖3,延長DC交AB于E,連結(jié)ME,過點(diǎn)E作EN⊥AD于N,
∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,
∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°,
∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90°,
∴DN=AN,
∴AD=2NE,
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),
∴EM⊥BC,
∴四邊形ONEM是矩形.
∴NE=OM,
∴AD=2OM.
故答案為:AD=2OM;AD⊥OM.
點(diǎn)評:此題考查了幾何變換綜合題,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),三角形的中位線定理,是一道多知識點(diǎn)探究性試題.
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10
3
10
3
m.

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