Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC與點(diǎn)E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，AF=5cm；（2）t=秒．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形判定推出即可，根據(jù)菱形性質(zhì)得出AF=CF，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（2）分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵AC的垂直平分線EF，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形．

∴AF=FC，

設(shè)AF=xcm，

則CF=xcm，BF=（8﹣x）cm，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴在Rt△ABF中，

由勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，即AF=5cm；

（2）顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF，Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形．

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得t=．

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=秒．