【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,AE是BAC的平分線,ABC的平分線 BM交AE于點M,點O在AB上,以點O為圓心,OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M,交BC于點G,交AB于點F.

(1)求證:AE為O的切線.

(2)當(dāng)BC=8,AC=12時,求O的半徑.

(3)在(2)的條件下,求線段BG的長.

【答案】(1)見解析;(2)3;(3)2

【解析】

試題分析:(1)連接OM.利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AEOM后即可證得AE是O的切線;

(2)設(shè)O的半徑為R,根據(jù)OMBE,得到OMA∽△BEA,利用平行線的性質(zhì)得到=,即可解得R=3,從而求得O的半徑為3;

(3)過點O作OHBG于點H,則BG=2BH,根據(jù)OME=MEH=EHO=90°,得到四邊形OMEH是矩形,從而得到HE=OM=3和BH=1,證得結(jié)論BG=2BH=2.

(1)證明:連接OM.

AC=AB,AE平分BAC

AEBC,CE=BE=BC=4,

OB=OM

∴∠OBM=OMB,

BM平分ABC

∴∠OBM=CBM,

∴∠OMB=CBM,

OMBC

AEBC,

AEOM,

AEO的切線;

(2)設(shè)O的半徑為R,

OMBE

∴△OMA∽△BEA,

==,

解得R=3,

∴⊙O的半徑為3;

(3)過點O作OHBG于點H,則BG=2BH,

∵∠OME=MEH=EHO=90°

四邊形OMEH是矩形,

HE=OM=3,

BH=1

BG=2BH=2

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