Question

已知正方形紙片ABCD．如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．

【小題1】（1）請你找到一個與相似的三角形，并證明你的結論；
【小題2】（2）當AB=2，點P位于CD中點時，請借助圖2畫出折疊后的示意圖，并求CG的長．

Answer 1

【小題1】解：（1）與相似的三角形是（或△FQG）．   ……… 1分
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．      ………………………………  2分
由折疊知 ∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．    ………………………………………………………  3分
∴∽
【小題2】（2）正確畫出示意圖．    …………………………………………  4分
∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
設AE=x，則ED=2-x，EP= x．
∵P是CD的中點，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，根據勾股定理，得
x²=（2-x）²+1．
解得x=．
∴ED=．    …………………………………………  5分
∵∽，
∴．
∴．
∴ CG=．   

解析