在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且BC=2.以CD為直徑作⊙O1交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0)、B(0,).
1.求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
2.求證:EF為⊙O1的切線
3.線段CD上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心,PD為半徑的⊙P與y軸相切.如果存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
1.連結(jié)CE
∵CD是⊙O1的直徑 ∴CE⊥x軸
∴在等腰梯形ABCD中,EO=BC=2,
CE=BO=,DE=AO=2∴DO=4,
故C()D() (3分)
2.連結(jié)O1E,在⊙O1中,O1D= O1E,∠O1DE=∠1,
又在等腰梯形ABCD中 ∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD ∴O1E∥BA
又∵EF⊥BA ∴O1E⊥EF
∵E在⊙O1上 ∴EF為⊙O1的切線. (6分)
3.存在滿足條件的點(diǎn)P.
作PH⊥OD于H,作PM⊥y軸于M.
則當(dāng)PM=PD時(shí),⊙P于y軸相切.
在矩形PHOM中,OH=PM
設(shè)OH=m, 則PM=PD=m, DH=4-m
∵tan∠OAB=
∴∠OAB=60°
∴∠PDH=∠OAB=60°
在Rt△PDH中,cos∠PDH=,即: , m=,
則PH=DH·tan∠PDH=(4-m)
∴ 滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為() (12分)
解析:(1)連CE,根據(jù)圓周角定理的推論得到CE⊥DE,再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得DE=OA=2,則OD=2+2=4,即可寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)和D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)AB=4,易得∠DCE=30°,則∠CDE=∠A=60°,得到△O1DE為等邊三角形,則∠O1ED=60°,而EF⊥AB,有∠FEA=30°,于是∠O1EF=90°,根據(jù)切線的判定即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)⊙與y軸相切于F,連PF,過(guò)C作CE⊥x軸與E,交PF于H,⊙P的半徑為R,根據(jù)切線的性質(zhì)得PF⊥y軸,則PD=PF=R,所以有PH=R-2,PC=4-R,DE=2,易證得Rt△CPH∽R(shí)t△GDF,理由相似比可求出R和CH,可得到HE,即可寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo).
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