Question

如圖，△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于點D，DE∥AB交AC于點E，過點C在△ABC外部作CF∥AB，AF⊥CF于點F．連接EF．

（1）求證：△AFC≌△ADC；
（2）判斷四邊形DCFE的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）四邊形DCFE是菱形，理由詳見解析.

試題分析：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形和菱形的判定等知識，根據(jù)已知得出DE∥FC是解題關(guān)鍵．（1）首先利用平行線的性質(zhì)得出∠FCE=∠BCA，進而利用全等三角形的判定方法AAS得出△AFC≌△ADC；（2）利用利用（1）中得結(jié)論易得出DE=FC，DE//FC，故四邊形DCFE是平行四邊形；再由DE=DC可判定四邊形DCFE是菱形．
試題解析：
（1）證明：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DE∥AB，CF∥AB，
∴DE∥FC，∠BAC=∠DEC，
∴∠DEC=∠BCA，∠DEC=∠FCE，
∴∠FCE=∠BCA，
在△AFC和△ADC中，
∴△AFC≌△ADC（AAS）；
四邊形DCFE是菱形；理由如下：
∵∠DEC=∠BCA，DC=FC，
∴DE=DC，DE=FC，
又∵DE//FC，
∴四邊形DCFE是平行四邊形，
又∵DE=DC，
∴平行四邊形DCFE是菱形．