Question

已知點(diǎn)P在線段4B上，點(diǎn)O在線段AB的延長(zhǎng)線上，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上一點(diǎn)． 

(1)如果AP=2PB，PB=BO．求證△CAO∽△BCO；

(2)如果AP=m(m是常數(shù)，且m>1)，BP=1，OP是OA、OB的比例中項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AC：BC的值(結(jié)果用含m的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

(1)證明：∵AP=2PB，PB=BO，∴AP=PO．

∴AO=2PO，

∵∴

∵∠COA=∠BOC，∴△CAO∽△BCO 

(2)解：設(shè)OP=x，則，．

∵OP是OA和OB的比例中項(xiàng)，

∴

解得．即  

∴．

∵OP是OA和OB的比例中項(xiàng)．即

∵OP=OC，∴

設(shè)圓O與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)P、點(diǎn)Q不重合時(shí)，

∵∠AOC=∠COB，∴△CAO∽△BCO．∴

∴當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P或點(diǎn)Q重合時(shí)，可得

∴當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

 (3)解：由(2)得，AC>BC，且，   

，圓B和圓C的圓心距d=BC．

顯然，，∴圓B和圓C的位置關(guān)系只能是相交、內(nèi)切或內(nèi)含．

當(dāng)圓B與圓C相交時(shí)，，得．

∵,∴

當(dāng)圓B與圓C內(nèi)切時(shí)，．得m=2．

當(dāng)圓口與圓C內(nèi)含時(shí)，．得m>2．