Question

【題目】（本題滿分8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個(gè)外角．

實(shí)踐與操作：

根據(jù)要求尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（1）作∠DAC的平分線AM；

（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點(diǎn)F，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE、CF．

猜想并證明：

判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

試題（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)證明∠ACB=∠FAC，進(jìn)而可得AF∥BC；然后再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知：OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，AE=EC，F(xiàn)A=FC,由OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，∠CAM=∠ACB可證明AOF≌△COE，即可得到AF=EC．因此可由AF∥BC，AF=EC,得證四邊形AECF是平行四邊形．最后可由AC⊥EF得證結(jié)論：菱形．

試題解析：（1）

（2）猜想：四邊形AECF是菱形

證明：∵AB=AC ，AM平分∠CAD

∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM

∵∠CAD是△ABC的外角

∴∠CAD=∠B+∠ACB

∴∠CAD=2∠ACB

∴∠CAM=∠ACB

∴AF∥CE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=

∴AOF≌△COE

∴AF=CE

在四邊形AECF中，AF∥CE，AF=CE

∴四邊形AECF是平行四邊形

又∵EF⊥AC

∴四邊形AECF是菱形