Question

20．如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），
（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求弧AQ的長（圖1）；
（2）若∠AOB=120°，求AB的長（圖2）；
（3）如果線段AB與圓O有兩個公共點A、M，當AO⊥PM于點N時，求tan∠MPQ的值（圖3）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質求出∠B的度數(shù)，得到∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長的計算公式進行求解即可；
（2）連接AP，過點A作AM⊥BP于M，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和已知條件求出AM，再根據(jù)BM=OM+OB，求出BM，最后根據(jù)勾股定理求出AB；
（3）連接MQ，根據(jù)PQ是圓O的直徑和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON=$\frac{1}{4}$AO，設ON=x，則AO=4x，根據(jù)OA的值求出x的值，再根據(jù)PN=$\sqrt{P{O}^{2}-O{N}^{2}}$，求出PN，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．

解答 解：（1）∵直線AB與圓O相切，
∴∠OAB=90°，
∵OQ=QB=1，
∴OA=1，OB=2，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠B=30°，
∴∠AOB=60°，
∴AQ=$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{π}{3}$；

（2）如圖1，
連接AP，過點A作AM⊥BP于M，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=60°，
∵sin∠AOP=$\frac{AM}{AO}$，
∴AM=sin∠AOP•AO=sin60°×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OM=$\frac{1}{2}$，
∴BM=OM+OB=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$；

（3）如圖2，連接MQ，
∵PQ為圓O的直徑，
∴∠PMQ=90°，
∵ON⊥PM，
∴AO∥MQ，
∵PO=OQ，
∴ON=$\frac{1}{2}$MQ，
∵OQ=BQ，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AO，
∴ON=$\frac{1}{4}$AO，
設ON=x，則AO=4x，
∵OA=1，
∴4x=1，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴ON=$\frac{1}{4}$，
∴PN=$\sqrt{P{O}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（{\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴tan∠MPQ=$\frac{ON}{PN}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

點評 本題考查了圓的綜合題，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理、弧長公式、特殊角的三角函數(shù)值，關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構造直角三角形．