【題目】△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在BC、AB、AC上,∠EDF=∠B.
(1)如圖1,
求證:DECD=DFBE
(2)D為BC中點如圖2,
連接EF.
①求證:ED平分∠BEF;
②若四邊形AEDF為菱形,求∠BAC的度數(shù)及 的值.
【答案】
(1)
證明:∵△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,
∴∠FDC=∠DEB,
∴△BDE∽△CFD,
∴ ,
即DECD=DFBE
(2)
解:①由(1)證得△BDE∽△CFD,
∴ ,
∵D為BC中點,
∴BD=CD,
∴ = ,
∵∠B=∠EDF,
∴△BDE∽△DEF,
∴∠BED=∠DEF,
∴ED平分∠BEF;②∵四邊形AEDF為菱形,
∴∠AEF=∠DEF,
∵∠BED=∠DEF,
∴∠AEF=60°,
∵AE=AF,
∴∠BAC=60°,
∵∠BAC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠B=60°,
∴△BED是等邊三角形,
∴BE=DE,
∵AE=DE,
∴AE= AB,
∴ =
【解析】(1)先根據(jù)題意得出△BDE∽△CFD,再由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,推出△BDE∽△DEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②由四邊形AEDF為菱形,得到∠AEF=∠DEF,于是得到∠AEF=60°,推出△ABC是等邊三角形,△BED是等邊三角形,得到BE=DE,即可得到結(jié)論.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將長方形ABCD沿著對角線BD折疊,使點C落在處,交AD于點E.
(1)試判斷△BDE的形狀,并說明理由;
(2)若,,求△BDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70°方向上,輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行,1小時后到達碼頭B處,此時,觀測燈塔C位于北偏西25°方向上,則燈塔C與碼頭B的距離是( )
A.10 海里
B.10 海里
C.10 海里
D.20 海里
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖像交矩形OABC的邊AB于點D,交邊BC于點E,且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6,則k=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線 AB,CD 相交于點O,OE 平分∠AOD,OF⊥OC.
(1)圖中∠AOF 的余角是_____ _____(把符合條件的角都填出來);
(2)如果∠AOC=120°,那么根據(jù)____ ______,可得∠BOD=__________°;
(3)如果∠1=32°,求∠2和∠3的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,邊AB的垂直平分線交邊BC于點E,垂足為點D,取線段BE的中點F,聯(lián)結(jié)DF.求證:AC=DF.(說明:此題的證明過程需要批注理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究題
【問題提出】
已知任意三角形的兩邊及夾角(是銳角),求三角形的面積.
【問題探究】
為了解決上述問題,讓我們從特殊到一般展開探究.
探究:在Rt△ABC(圖1)中,∠ABC=90°,AC=b,BC=a,∠C=α,求△ABC的面積(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
在Rt△ABC中,∠ABC=90°
∴sinα=
∴AB=bsinα
∴S△ABC= BCAB= absinα
(1)探究一:
銳角△ABC(圖2)中,AC=b,BC=a,∠C=α(0°<α<90°)
求:△ABC的面積.(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
(2)探究二:
鈍角△ABC(圖3)中,AC=b,BC=a,∠C=α(0°<α<90°)
求:△ABC的面積.(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
(3)【問題解決】
用文字?jǐn)⑹觯阂阎我馊切蔚膬蛇吋皧A角(是銳角),求三角形面積的方法
是
(4)已知平行四邊形ABCD(圖4)中,AB=b,BC=a,∠B=α(0°<α<90°)
求:平行四邊形ABCD的面積.(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究題
問題再現(xiàn):
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法,借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性,從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式,很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.
例如:利用圖形的幾何意義證明完全平方公式.
證明:將一個邊長為a的正方形的邊長增加b,形成兩個矩形和兩個正方形,如圖1:
這個圖形的面積可以表示成:
(a+b)2或a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.
(1)類比解決:
請你類比上述方法,利用圖形的幾何意義證明平方差公式.(要求畫出圖形并寫出推理過程)
(2)問題提出:如何利用圖形幾何意義的方法證明:13+23=32?
如圖2,
A表示1個1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1個2×2的正方形,C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2個2×2的正方形,即:2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一個(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
嘗試解決:
請你類比上述推導(dǎo)過程,利用圖形的幾何意義確定:13+23+33= . (要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過程).
(3)問題拓廣:
請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究:13+23+33+…+n3= . (直接寫出結(jié)論即可,不必寫出解題過程)
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