Question

（2013•樂(lè)清市模擬）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，則可證得四邊形AFCE是平行四邊形，又由AC⊥EF，則可證得四邊形AFCE是菱形；
（2）由已知可得：S_△ABF=

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AB•BF=24cm²，則可得AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），則可求得AB+BF的值，繼而求得△ABF的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S_△ABF=

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AB•BF=24cm²，
∴AB•BF=48（cm²），
∴AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周長(zhǎng)為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．