【題目】如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=900,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B、D.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連結(jié)BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,試證明:FC(AC+BC)為定值.
【答案】(1)();(2);(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)AO=AC-OC=m-3,用線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)∵△ABC是等腰直角三角形,∴△AOD也是等腰直角三角形,∴OD=OA,∴D(0,m-3),又P(1,0)為拋物線頂點(diǎn),可設(shè)頂點(diǎn)式,求解析式;(3)設(shè)Q(x,x2-2x+1),過Q點(diǎn)分別作x軸,y軸的垂線,運(yùn)用相似比求出FC、EC的長(zhǎng),而AC=m,代入即可.
試題解析:(1) 由B(3,m)可知OC=3,BC=m,
又△ABC為等腰直角三角形,
∴AC=BC=m,OA=m-3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3-m,0).
(2)∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA=m-3,
則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,m-3).
又拋物線頂點(diǎn)為P(1,0),且過點(diǎn)B、D,
所以可設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)2,
得:
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1;
(3)證明:過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(x,x2-2x+1),
則QM=CN=(x-1)2,MC=QN=3-x.
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴
即,得EC=2(x-1)
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴,
即,得FC=
又∵AC=4
∴FC(AC+EC)= [4+2(x-1)]= (2x+2)=×2×(x+1)=8
即FC(AC+EC)為定值8.
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(1)此次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為___;
(2)條形統(tǒng)計(jì)圖中存在錯(cuò)誤的是___(填A. B.C中的一個(gè)),并在圖中加以改正;
(3)在圖2中補(bǔ)畫條形統(tǒng)計(jì)圖中不完整的部分;
(4)如果該校有600名學(xué)生,那么對(duì)此活動(dòng)“非常喜歡”和“比較喜歡”的學(xué)生共有多少人?
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