Question

如圖所示，直線y=kx+6與函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m＞0）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且與x軸、y軸分別交于D、C兩點(diǎn)．又AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．已知△COD的面積是△AOB面積的

3

倍．
（1）求y₁-y₂的值．
（2）求k與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出該函數(shù)圖象的草圖．
（3）是否存在實(shí)數(shù)k和m，使梯形AEFB的面積為6？若存在，求出k和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m＞0）的圖象上，且x₁＜x₂，得y₁＞y₂＞0；再根據(jù)S_△COD=

3

S_△AOB利用三角形的面積公式得到OC=

3

（y₁-y₂），求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到y(tǒng)₁-y₂=2

3

；
（2）由（1）知（y₁-y₂）²=12，變形為（y₁+y₂）²-4y₁y₂=12①，由y=kx+6與y=

m

x

消去x得關(guān)于y的方程y²-6y-km=0②，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)₁+y₂=6，y₁y₂=-km，然后代入①，得k與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）把點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y=kx+6上，有x₁=

1

k

（y₁-6），x₂=

1

k

（y₂-6），得到EF=x₂-x₁=-

1

k

（y₁-y₂），利用S_梯形AEFB=

1

2

•（AE+BF）•EF=

1

2

•（y₁+y₂）•[-

1

k

（y₁-y₂）]=-

1

2k

（y₁-y₂）（y₁+y₂），然后把y₁-y₂=2

3

，y₁+y₂=6代入即可得到k的值，再把k的值代入（2）的結(jié)論中，可求出m的值．

解答：解：（1）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m＞0）的圖象上，且x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂＞0，
而S_△COD=

3

S_△AOB，
∴S_△COD=

3

（S_△AOD-S_△BOD），
∴

1

2

•OC•OD=

3

（

1

2

•OD•y₁-

1

2

•OD•y₂），
∴OC=

3

（y₁-y₂），
在y=kx+6中令x=0，得y=6，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴OC=6，
∴y₁-y₂=2

3

；

（2）由（1）知（y₁-y₂）²=12，
即（y₁+y₂）²-4y₁y₂=12①，
由y=

m

x

可得x=

m

y

，代入y=kx+6并整理得：y²-6y-km=0②，
依題意，y₁，y₂是此方程的兩根，
∴y₁+y₂=6，y₁y₂=-km，
代入①得：6²-4×（-km）=12，解得k=-

6

m

，
由圖知，k＜0，而m＞0
又方程②的判別式△=36+4km=12＞0，
∴所求的函數(shù)關(guān)系式為k=-

6

m

（m＞0），
其草圖如右圖所示；

（3）存在．理由如下：
設(shè)存在k，m使得S_梯形AEFB=6，
∵點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線y=kx+6上，所以有x₁=

1

k

（y₁-6），x₂=

1

k

（y₂-6），
∴EF=x₂-x₁=-

1

k

（y₁-y₂），
∴S_梯形AEFB=

1

2

•（AE+BF）•EF
=

1

2

•（y₁+y₂）•[-

1

k

（y₁-y₂）]
=-

1

2k

（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由（1）有y₁-y₂=2

3

，y₁+y₂=6代入上式得：S_梯形AEFB=-

1

2k

×6×2

3

=6，
∴k=-

3

，代入k=-

6

m

解得m=2

3

．
故存在k=-

3

，m=2

3

滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；也考查了利用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及利用規(guī)則的幾何圖形的面積的和差計(jì)算不規(guī)則的圖形面積．