Question

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連結(jié)BD并延長與CE交于點E。

（1）求證：△ABD∽△CED；
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的長。

Answer 1

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACE＝60°，再結(jié)合對頂角∠ADB＝∠CDE，即可證得結(jié)果；（2）

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACE＝60°，再結(jié)合對頂角∠ADB＝∠CDE，即可證得結(jié)果；
（2）作BM⊥AC于點M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝，由AD＝2CD可得CD＝2，AD＝4，MD＝1，在Rt△BDM中，根據(jù)勾股定理可求得BD的長，再根據(jù)△ABD∽△CED結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可求的ED的長，即可求得結(jié)果.
（1）∵△ABC是等邊三角形
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°
∵CE是外角平分線
∴∠ACE＝60°
∴∠BAC＝∠ACE
又∵∠ADB＝∠CDE
∴△ABD∽△CED；
（2）作BM⊥AC于點M，AC＝AB＝6

∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝
∵AD＝2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1
在Rt△BDM中，BD＝＝
由（1）△ABD∽△CED得，，，
∴ED＝，
∴BE＝BD＋ED＝.
點評：解題的關鍵是熟記等邊三角形的三條邊相等，三個角都是60°；相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母寫在對應位置上.