【題目】己知是等邊三角形,于點(diǎn),點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接、、;
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),猜想和的數(shù)量關(guān)系;(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論,若不成立,請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)是等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出的度數(shù).
圖1圖2備用圖
【答案】(1)∠AFC+∠FAC=90°;(2)成立,理由見解析;(3)15°或75°
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,由“SAS”可證△ABE≌△CBF,可得∠BAE=∠BCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,先求證△ABE≌△CBF,由△ABE和△CBF全等可得∠BAE=∠BCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(3)由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AE,由等腰三角形的性質(zhì)求解即可;
解:
(1)∠AFC+∠FAC=90°,
理由如下:連接AF,
∵是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=30°,
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,
∴,,
∴∠EBF=∠ABC=60°,
∴∠ABC=∠EBF=60°,
∴∠ABE=∠FBC,且AB=AC,,
∴△ABE≌△CBF,
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴∠ACF=90°,
即∠AFC+∠FAC=90°;
(2)成立,∠AFC+∠FAC=90°,
證明:由旋轉(zhuǎn)可得,
∠EBF=60°,BE=BF,
∴△BEF是等邊三角形,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABC=∠EBF=60°,
∴∠ABC+∠CBE=∠EBF+∠CBE,
即∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF,
∴∠BAE=∠BCF,
∵AD⊥BC,
∴∠BAE=∠BAC=30°,
∴∠BCF=30°,
∴∠ACB+∠BCF=90°,
即∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°,
(3)∵△ACF是等腰直角三角形,
∴AC=CF,
∵△ABE≌△CBF,
∴CF=AE,
∴AC= AE=AB,
∴,
∴,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,王同學(xué)使一長(zhǎng)為4cm,寬為3cm的長(zhǎng)方形木板,在桌面上做無滑動(dòng)的翻滾(順時(shí)針方向)木板上點(diǎn)A位置變化為,其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住,使木板與桌面成30°角,則點(diǎn)A翻滾到A2位置時(shí)共走過的路徑長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知⊙O的半徑為2,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠ABC=∠AOC,且AD=CD,則圖中陰影部分的面積等于______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(diǎn)(0<AD<AB).過點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CF,連接AF,EF.設(shè)∠BCE的度數(shù)為α.
(1)①依題意補(bǔ)全圖形.
②若α=60°,則∠CAF=_____°;=_____;
(2)用含α的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖所示,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③a﹣b+c>0;④當(dāng)x≠1時(shí),a+b>ax2+bx;⑤4ac<b2.其中正確的有( 。﹤(gè)
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】為了創(chuàng)建全國(guó)衛(wèi)生城市,某社區(qū)要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾,租用甲、乙兩車運(yùn)送,若兩車合作,各運(yùn)12趟才能完成,需支付運(yùn)費(fèi)共4 800元.若甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾,則乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的2倍,已知乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少200元.
(1)分別求出甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi);
(2)若單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此堆垃圾,需多少趟?
(3)若同時(shí)租用甲、乙兩車,則甲車運(yùn)x趟,乙車運(yùn)y趟,才能運(yùn)完此堆垃圾,其中x,y均為正整數(shù).
①當(dāng)x=10時(shí),y= ;當(dāng)y=10時(shí),x= ;
②用含x的代數(shù)式表示y;
探究:
(4)在(3)的條件下:
①用含x的代數(shù)式表示總運(yùn)費(fèi)w;
②要想總運(yùn)費(fèi)不大于4 000元,甲車最多需運(yùn)多少趟?
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【題目】某校初二年級(jí)模擬開展“中國(guó)詩(shī)詞大賽”比賽,對(duì)全年級(jí)同學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后分為“優(yōu)秀”、“良好”、“一般”、“較差”四個(gè)等級(jí),并根據(jù)成績(jī)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息,回答下列問題:
(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“優(yōu)秀”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為 度,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(2)此次比賽有三名同學(xué)得滿分,分別是甲、乙、丙,現(xiàn)從這三名同學(xué)中挑選兩名同學(xué)參加學(xué)校舉行的“中國(guó)詩(shī)詞大賽”比賽,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法,求出選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(可以包括點(diǎn)C但不包括點(diǎn)B),以P為圓心PB為半徑作⊙P交AB于點(diǎn)D過點(diǎn)D作⊙P的切線交邊AC于點(diǎn)E,
(1)求證:AE=DE;
(2)若PB=2,求AE的長(zhǎng);
(3)在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)直接寫出線段AE長(zhǎng)度的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣1<x1<0.1<x2<2.下列結(jié)論:4a+2b+c<0;2a+b<0;b2+8a>4ac;
a<﹣1;其中結(jié)論正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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