Question

【題目】定義:有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準平行四邊形”.例如:凸四邊形中，若，則稱四邊形為準平行四邊形.

（1）如圖①，是上的四個點，，延長到，使.求證:四邊形是準平行四邊形；

（2）如圖②，準平行四邊形內接于，，若的半徑為，求的長；

（3）如圖③，在中，，若四邊形是準平行四邊形，且，請直接寫出長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據(jù)同弧所對的圓周角相等證明三角形ABC為等邊三角形，得到∠ACB=60°，再求出∠APB=60°，根據(jù)AQ=AP判定△APQ為等邊三角形，∠AQP=∠QAP=60°，故∠ACB=∠AQP，可判斷∠QAC＞120°，∠QBC＜120°，故∠QAC≠∠QBC，可證四邊形是準平行四邊形；

（2）根據(jù)已知條件可判斷∠ABC≠∠ADC，則可得∠BAD=∠BCD=90°，連接BD，則BD為直徑為10，根據(jù)BC=CD得△BCD為等腰直角三角形，則∠BAC=∠BDC=45°，在直角三角形BCD中利用勾股定理或三角函數(shù)求出BC的長，過B點作BE⊥AC，分別在直角三角形ABE和△BEC中，利用三角函數(shù)和勾股定理求出AE、CE的長，即可求出AC的長.

（3）根據(jù)已知條件可得：∠ADC=∠ABC=60°，延長BC 到E點，使BE=BA，可得三角形ABE為等邊三角形，∠E=60°，過A、E、C三點作圓o，則AE為直徑，點D在點C另一側的弧AE上（點A、點E除外），連接BO交弧AE于D點，則此時BD的長度最大，根據(jù)已知條件求出BO、OD的長度，即可求解.

（1）∵

∴∠ABC=∠BAC=60°

∴△ABC為等邊三角形，∠ACB=60°

∵∠APQ=180°-∠APC-∠CPB=60°

又AP=AQ

∴△APQ為等邊三角形

∴∠AQP=∠QAP=60°

∴∠ACB=∠AQP

∵∠QAC=∠QAP+∠PAB+∠BAC=120°+∠PAB＞120°

故∠QBC=360°-∠AQP-∠ACB-∠QAC＜120°

∴∠QAC≠∠QBC

∴四邊形是準平行四邊形

（2）連接BD，過B點作BE⊥AC于E點

∵準平行四邊形內接于，

∴∠ABC≠∠ADC，∠BAD=∠BCD

∵∠BAD+∠BCD=180°

∴∠BAD=∠BCD=90°

∴BD為的直徑

∵的半徑為5

∴BD=10

∵BC=CD,∠BCD=90°

∴∠CBD=∠BDC=45°

∴BC=BD sin∠BDC=10 ，∠BAC=∠BDC=45°

∵BE⊥AC

∴∠BEA=∠BEC=90°

∴AE=ABsin∠BAC=6

∵∠ABE=∠BAE=45°

∴BE=AE=

在直角三角形BEC中，EC=

∴AC=AE+EC=

（3）在中，

∴∠ABC=60°

∵四邊形是準平行四邊形，且

∴∠ADC=∠ABC=60°

延長BC 到E點，使BE=BA，可得三角形ABE為等邊三角形，∠E=60°，過A、E、C三點作圓o，因為∠ACE=90°，則AE為直徑，點D在點C另一側的弧AE上（點A、點E除外），此時，∠ADC=∠AEC=60°，連接BO交弧AE于D點，則此時BD的長度最大.

在等邊三角形ABE中，∠ACB=90°，BC=2

∴AE=BE=2BC=4

∴OE=OA=OD=2

∴BO⊥AE

∴BO=BEsin∠E=4

∴BD=BO+0D=2+

即BD長的最大值為2+