【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M為對角線BD延長線上一點(diǎn),連接AM和CM,E為CM上一點(diǎn),且滿足CB=CE,連接BE,交CD于點(diǎn)F.

(1)若∠AMB=30°,且DM=3,求BE的長;
(2)證明:AM=CF+DM.

【答案】
(1)解:如圖1中,

∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,

∴△ABD,△BCD的是等邊三角形,

∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60°,BA=BC,

∵∠AMB=30°,∠ADB=∠AMB+∠DAM,

∴∠DAM=∠DMA=30°,

∴∠BAM=90°,DA=DM=AB=BC=CE=3,

在△BMA和△BMC中,

∴△BMA≌△BMC,

∴∠BCM=∠BAM=90°,

在Rt△BCE中,BE= =3


(2)解:如圖2中,在BD上取一點(diǎn)G,使得BG=DF,連接CG交BE于O.

∵BG=DF,∠CBG=∠BDF,BD=BC,

∴△GBC≌△FDB,

∴∠BGC=∠BFD,∠DBF=∠BCG,

∴∠MGC=∠BFC,

∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60°

在△COE中,∠ECO+∠EOC+∠CEO=180°,

在△BCF中,∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°,

∵CB=CE,

∴∠CBE=∠CEO,∵∠BCF=∠COE=60°,

∴∠ECO=∠BFC=∠MGC,

∴MC=MG,

由(1)可知△BMA≌△BMC,

∴AM=MC=MG,

∵M(jìn)G=DG+DM,

∵BD=CD,BG=DF,

∴DG=CF,

∴AM=CF+DM


【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得出△BCE是等腰直角三角形,即可求出BE的長;(2)證兩線段之和等于一條線段可采取“截長補(bǔ)短法“,即在長線段BM上截取BG=DF,構(gòu)造全等三角形△GBC≌△FDB,可推出CF=DG,再結(jié)合已知AM=CM=MG,得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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1)求該班共有多少名學(xué)生;

2)在條形圖中,將表示一般了解的部分補(bǔ)充完整;

3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,計(jì)算出了解較多部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);

4)如果全年級共1000名同學(xué),請你估算全年級對奧運(yùn)知識了解較多的學(xué)生人數(shù).

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