已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求此二次函數(shù)解析式;
(2)連接DC、BC、DB,求證:△BCD是直角三角形;
(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、C(0,3),
∴根據(jù)題意,得,
解得,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)由y=﹣x2+2x+3得,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),
∴CD==,
BC==3,
BD==2,
∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20,
∴CD2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形;
(3)存在.CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=
y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1.
①若以CD為底邊,則PD=PC,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,
得x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,
即y=4﹣x.
又P點(diǎn)(x,y)在拋物線上,
∴4﹣x=﹣x2+2x+3,
即x2﹣3x+1=0,
解得x1=,x2=<1,應(yīng)舍去,
∴x=,
∴y=4﹣x=,
即點(diǎn)P坐標(biāo)為(,).
②若以CD為一腰,
∵點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對稱性知,點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱,
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3).
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(,)或(2,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,▱ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是線段AO,BO的中點(diǎn),若AC+BD=24厘米,△OAB的周長是18厘米,則EF=厘米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
一輛汽車沿著一條南北方向的公路來回行駛。某一天早晨從A地出發(fā),晚上到達(dá)B地。
約定向北為正,向南為負(fù),當(dāng)天記錄如下:(單位:千米)
-18.3, -9.5, +7.1, -14, -6.2, +13, -6.8, -8.5
(1)問B地在A地何處,相距多少千米?
(2)若汽車行駛每千米耗油0.2升,那么這一天共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,平行四邊形ABCD中,AB=AC=4,AB⊥AC,O是對角線的交點(diǎn),若⊙O過A、C兩點(diǎn),則圖中陰影部分的面積之和為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
中學(xué)生上學(xué)帶手機(jī)的現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注,為此媒體記者隨機(jī)調(diào)查了某校若干名學(xué)生上學(xué)帶手機(jī)的目的,分為四種類型:A接聽電話;B收發(fā)短信;C查閱資料;D游戲聊天.并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計(jì)圖(不完整),請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 200 名學(xué)生;
(2)將圖1、圖2補(bǔ)充完整;
(3)現(xiàn)有4名學(xué)生,其中A類兩名,B類兩名,從中任選2名學(xué)生,求這兩名學(xué)生為同一類型的概率(用列表法或樹狀圖法).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
某幾何體由一些大小相同的小正方體組成,如圖分別是它的主視圖和俯視圖,那么要組成該幾何體,至少需要多少個(gè)這樣的小正方體( 。
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱,如此作下去,則△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是( )
A. (4n﹣1,) B. (2n﹣1,) C. (4n+1,) D. (2n+1,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.頂點(diǎn)為(﹣4,﹣1)的拋物線交y軸于點(diǎn)A(0,3),交x軸于B,C兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線上位于B,C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?并求出此時(shí)四邊形ABPC的面積.
(3)過點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D,是否存在以點(diǎn)C為圓心且與線段BD和拋物線的對稱軸l同時(shí)相切的圓?若存在,求出圓的半徑;若不存在,請說明理由.
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