Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，5），AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為 ；

（2）求（1）中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S的最大值及S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)P，Q保持（1）中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有 個(gè)．

Answer 1

【答案】（1）2個(gè)單位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），當(dāng)t=時(shí)，S有最大值為，此時(shí)P（）；（3）2．

【解析】試題分析：（1）由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了5秒時(shí)，它到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.

過(guò)P作軸，表示出 配方求出最大值即可.

分兩種情況進(jìn)行討論即可.

試題解析：（1）由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了5秒時(shí)，它到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí) 因此點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為10÷5=2個(gè)單位/秒，

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒．

故答案是：2個(gè)單位/秒；

（2）如圖①，過(guò)P作軸，

∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒．

∴t秒鐘走的路程為2t，即

∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為

∴

∴

∴

∴ 又

∴ 即為中OQ邊上的高，

而 可得

∴

∵

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為，此時(shí)P.

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)， 的點(diǎn)P有2個(gè)．

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，OQ的長(zhǎng)是12單位長(zhǎng)度，

作交y軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)H，

由得:

所以，從而

所以當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 的點(diǎn)P有1個(gè)．

②同理當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可算得，

而構(gòu)成直角時(shí)交y軸于

所以從而的點(diǎn)P也有1個(gè)．

所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)， 的點(diǎn)P有2個(gè)．

故答案是：2．