Question

4．已知拋物線y₁=-$\frac{1}{6}$x₂，拋物線y₂=ax²經(jīng)過點（2，-$\frac{1}{3}$）

（1）求拋物線y₂的解析式
（2）正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與拋物線y₁和拋物線y₂分別交于AB兩點，則OA、OB是否有某種確定的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論
（3）將拋物線y₂向上平移，平移后的拋物線經(jīng)過點C（-12，0），與y軸交于點D，且P為拋物線上C、D之間的一動點（含C、D兩點），E（6，0）、F（0，10）．若P點的橫坐標為x，△PEF的面積為y
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式
②若y為正整數(shù)，求P點的個數(shù)（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）把已知點的坐標代入拋物線y₂的解析式，可求得a的值，可求得拋物線y₂的解析式；
（2）聯(lián)立直線與兩拋物線解析式，可用k分別表示出A、B兩點的坐標，則可表示出OA、OB的長，可求得其數(shù)量關(guān)系；
（3）①可設平移后拋物線解析式，再把C點坐標代入可求得其解析式，則可表示出P點坐標，由E、F可求得直線EF的解析式，當P在E、F之間時，過點P作PQ∥x軸交EF于Q，可表示出Q點的坐標，則可求得y；當P在F點上方時，過點P作PQ∥y軸交EF于Q，同理可求得y與x的關(guān)系式；②利用①中所求函數(shù)關(guān)系式，可求得y的最值，則可求得y為正整數(shù)時的個數(shù)，可求得P點的個數(shù)．

解答 解：
（1）∵拋物線y₂=ax²經(jīng)過點（2，-$\frac{1}{3}$），
∴4a=-$\frac{1}{3}$，解得a=-$\frac{1}{12}$，
∴拋物線解析式為y₂=-$\frac{1}{12}$x²，
（2）聯(lián)立正比例函數(shù)和拋物線y₁可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{6}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得x=0或x=-6k，
∴A（-6k，-6k²），
∴OA=$\sqrt{（-6k）^{2}+（-6{k}^{2}）^{2}}$=$6k\sqrt{1+{k}^{2}}$，
聯(lián)立正比例函數(shù)與拋物線y₂可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{12}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得x=0或x=-12k，
∴B（-12k，-12k²），
∴OB=$\sqrt{（-12k）^{2}+（-12{k}^{2}）^{2}}$=12k$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴OB=2OA；
（3）①設平移后拋物線解析式為y=-$\frac{1}{12}$x²+s，
∵平移后勁拋物線過點C（-12，0），
∴0=-12+s，解得s=12，
∴平移后拋物線解析式為y=-$\frac{1}{12}$x²+12，
∴P（x，-$\frac{1}{12}$x²+12），
∵E（6，0）、F（0，10），
∴直線EF解析式為y=$\frac{5}{3}$x+10，
令-$\frac{1}{12}$x²+12=10，解得x=±2$\sqrt{6}$，
當P在E、F之間時，即-12≤x≤-2$\sqrt{6}$時，過點P作PQ∥x軸交EF于Q，如圖1，

此時Q點縱坐標為-$\frac{1}{12}$x²+12，
∴Q（-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{6}{5}$，-$\frac{1}{12}$x²+12），
∴PQ=-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{6}{5}$-x，
∴y=$\frac{1}{2}$PQ•OF=$\frac{1}{2}$×10PQ=5PQ=5（-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{6}{5}$-x）=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6；
當P在F點上方時，即-2$\sqrt{6}$＜x≤0時，過點P作PQ∥y軸交EF于Q，如圖2，

此時Q（x，$\frac{5}{3}$x+10），
∴PQ=-$\frac{1}{12}$x²+12-（$\frac{5}{3}$x+10）=-$\frac{1}{12}$x²-$\frac{5}{3}$x+2，
∴y=$\frac{1}{2}$PQ•OE=$\frac{1}{2}$×6PQ=3PQ=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6；
綜上可知y=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6（-12≤x≤0）；
②∵y=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6=-$\frac{1}{4}$（x+10）²+31，
∴當x=-12時，y有最大值31，
∴滿足條件的P點的個數(shù)有31個．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理、函數(shù)圖象的交點、圖象的平移、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用，在（2）中用k分別表示出OA和OB的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中用得出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．