【題目】△ABC中,AD是BC邊上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動點,則△PQR周長的最小值為
【答案】
【解析】解:如圖1中,
作P點關于AB的對稱點P′,作P點關于AC的對稱點P″,連接P′P″,與AB交于點Q′,與AC交于點R′,連接PP′交AB于M,連接PP″交AC于N,
此時△PQ′R′的周長最小,這個最小值=P′P″,
∵PM=MP′,PN=NP″,
∴P′P″=2MN,
∴當MN最小時P′P″最。
如圖2中,
∵∠AMP=∠ANP=90°,
∴A、M、P、N四點共圓,線段AP就是圓的直徑,MN是弦,
∵∠MAN是定值,
∴直徑AP最小時,弦MN最小,
∴當點P與點D重合時,PA最小,此時MN最。
如圖3中,
∵在RT△ABD中,∠ADB=90°,AD=2,DB=3,
∴
在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2,CD=1,
∴
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴ACDN=DCAD,
∴
∵∠MAD=∠DAB,∠AMD=∠ADB,
∴△AMD∽△ADB,
∴
∴AD2=AMAB,同理AD2=ANAC,
∴AMAB=ANAC,
∴
∵∠MAN=∠CAB,
∴△AMN∽△ACB,
∴
∴MN= ,
∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN= .
故答案為 .
如圖1中,作P點關于AB的對稱點P′,作P點關于AC的對稱點P″,連接P′P″,與AB交于點Q′,與AC交于點R′,連接PP′交AB于M,連接PP″交AC于N,此時△PQ′R′的周長最小,這個最小值=P′P″,再證明P′P″=2MN,MN最小時,△PQR周長最小,利用圖2證明當點P與點D重合時MN最小,在圖3中利用相似三角形的性質求出MN的最小值即可解決問題.
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【題目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,如圖1,點P從C出發(fā)向點B運動,點R是射線PB上一點,PR=3CP,過點R作QR⊥BC,且QR=aCP,連接PQ,當P點到達B點時停止運動.設CP=x,△ABC與△PQR重合部分的面積為S,S關于x的函數圖象如圖2所示(其中0<x≤ , <x≤m,m<x≤n時,函數的解析式不同).
(1)a的值為;
(2)求出S關于x的函數關系式,并寫出x的取值范圍.
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【題目】已知如圖,矩形ABCD中,BD=5cm,BC=4cm,E是邊AD上一點,且BE = ED,P是對角線上任意一點,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分別為F、G.則PF + PG的長為( ).
A. 2.5 cm B. 2.8 cm C. 3 cm D. 3.5 cm
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,BE平分∠ABC交AC于點F,交AD于點E,且∠DBF=15°,求證:(1)AO=AE; (2)∠FEO的度數.
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【題目】A,B,C三名大學生競選系學生會主席,他們的筆試成績和口試成績(單位:分)分別用了兩種方式進行了統(tǒng)計,如表和圖1:
(1)請將表和圖1中的空缺部分補充完整.
(2)競選的最后一個程序是由本系的300名學生進行投票,三位候選人的得票情況如圖2(沒有棄權票,每名學生只能推薦一個),則B在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角的度數是.
(3)若每票計1分,系里將筆試、口試、得票三項測試得分按4:3:3的比例確定個人成績,請計算三位候選人的最后成績,并根據成績判斷誰能當選.
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【題目】已知△ABC中,AB=AC=BC=6.點P射線BA上一點,點Q是AC的延長線上一點,且BP=CQ,連接PQ,與直線BC相交于點D.
(1)如圖①,當點P為AB的中點時,求CD的長;
(2)如圖②,過點P作直線BC的垂線,垂足為E,當點P,Q分別在射線BA和AC的延長線上任意地移動過程中,線段BE,DE,CD中是否存在長度保持不變的線段?請說明理由.
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【題目】如圖,已知點B、C、D在同一條直線上,△ABC和△CDE都是等邊三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,
①求證:△BCE≌△ACD;
②求證:CF=CH;
③判斷△CFH的形狀并說明理由。
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A(﹣ , 0),點B(2,0),與y軸交于點C(0,1),連接BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)N為拋物線上的一個動點,過點N作NP⊥x軸于點P,設點N的橫坐標為t(﹣),求△ABN的面積s與t的函數解析式;
(3)若0<t<2且t≠0時,△OPN∽△COB,求點N的坐標.
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