Question

（2012•武漢模擬）將拋物線 C₁：y=

1

2

（x+2）²-2關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換，再將變換后的拋物線沿y軸的正方向平移0.5個(gè)單位，沿x軸的正方向平移m個(gè)單位，得到拋物線C₂，拋物線C₁、C₂的頂點(diǎn)分別為B、D．
（1）直接寫(xiě)出當(dāng)m=0和m=4時(shí)拋物線C₂的解析式；
（2）分別求出符合下列條件的m的值：①線段BD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②點(diǎn)D剛好落在拋物線C₁上；
（3）拋物線C₂與x軸交于A、C兩點(diǎn)（A點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè)），是否存在m的值，使四邊形ABCD為梯形？若存在，求出符合條件的m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線作x軸的軸對(duì)稱變換后，開(kāi)口方向發(fā)生變化（變換前后，二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)）、頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化（變換前后，頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱）；再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律（左加右減、上加下減）表達(dá)出C₂的解析式；最后直接將m的值代入求解即可．
（2）根據(jù)拋物線C₁的解析式能確定其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)（1）的平移規(guī)律能確定拋物線C₂的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
①首先根據(jù)點(diǎn)O、B的坐標(biāo)求出直線BD的解析式，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入即可確定m的值．
②直接將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線C₁的解析式中求解即可．
（3）觀察四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)后發(fā)現(xiàn)：A、C同在x軸上，而B(niǎo)、D并沒(méi)有關(guān)于AC對(duì)稱（或BD并沒(méi)有被AC平分），因此該四邊形不可能是平行四邊形，若四邊形ABCD是梯形，只需考慮一組對(duì)邊平行即可，分兩種情況考慮：①AB∥CD、②AD∥BC；可過(guò)B、D分別作x軸的垂線，將一組平行邊構(gòu)建到一組相似三角形中，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)進(jìn)行求解．

解答：解：（1）點(diǎn)B為拋物線C₁的頂點(diǎn)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2）．
點(diǎn)B關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換得B₁，則點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（-2，2），再將點(diǎn)B向上平移0.5個(gè)單位、向右平移m個(gè)單位后得：D（-2+m，2.5）；
拋物線在平移過(guò)程中，形狀沒(méi)有發(fā)生變化，而開(kāi)口方向改變，故拋物線C₂的解析式為：y=-

1

2

（x+2-m）²+2.5；
當(dāng)m=0時(shí)，拋物線C₂：y=-

1

2

（x+2）²+2.5；
當(dāng)m=4時(shí)，拋物線C₂：y=-

1

2

（x-2）²+2.5．

（2）①因?yàn)榫�段BD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)直線BD的解析式為：y=kx，已知點(diǎn)B（-2，-2），所以k=1；
所以-2+m=2.5，m=4.5．
②點(diǎn)D（-2+m，2.5）在拋物線C₁上，
∴2.5=

1

2

（-2+m+2）²-2
解之得，m=3或-3．

（3）如圖，分別過(guò)點(diǎn)B、D作x軸的垂線，垂足分別為N、M；則DM=2.5，BN=2．
∵拋物線C₂的解析式為：y=-

1

2

（x+2-m）²+2.5，
當(dāng)y=0時(shí)，0=-

1

2

（x+2-m）²+2.5，解之得：x₁=m-2+

5

，x₂=m-2-

5

．
∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為 A（m-2-

5

，0）、C（m-2+

5

，0）
∴AC=（m-2+

5

）-（m-2-

5

）=2

5

∴AM=CM=

5

．
要使四邊形ABCD為梯形，分兩種情況：
①AB∥CD，此時(shí)△DMC∽△BNA，所以

AN

BN

=

CM

DM

，
∴AN=

4 5

5

，
∴MN=

5

5

；
∵點(diǎn)M在N點(diǎn)的右側(cè)，∴m=

5

5

．
②AD∥BC，此時(shí)△ADM∽△CBN，所以

CN

BN

=

AM

DM

，
∴CN=

4 5

5

∴MN=

5

5

．
∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，∴m=-

5

5

．
AC與BD相交于點(diǎn)E，
∵

DE

BE

=

DM

BN

=

5

4

∴AC沒(méi)有平分BD，四邊形ABCD的兩組對(duì)邊不可能同時(shí)平行．
綜上所述，存在m=

5

5

或m=-

5

5

時(shí)，四邊形ABCD為梯形．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了函數(shù)圖象的平移、梯形的判定、相似三角形的應(yīng)用等綜合知識(shí)，函數(shù)圖象的平移規(guī)律（左加右減、上加下減）是需要牢記的內(nèi)容．