Question

【題目】已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在線段BE的延長(zhǎng)線上，連接FC，且∠FCE＝∠CBE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：CF＝2EF；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)F位于線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD＝BC.∵點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，

∴CE＝CD＝BC.

∵∠FCE＝∠CBE，∠F＝∠F，∴△FCE∽△FBC，

∴

又∵CE＝BC，∴＝，∴CF＝2EF.

(2)∵四邊形ABCD是正方形，∴DE∥AB，AD∥BC，AD＝CD，∴ ＝，

∴＝.∵AF∥BC，∴∠DFE＝∠CBE.∵∠FCE＝∠CBE，∴∠DFE＝∠FCE.又∵∠FDE＝∠CDF，∴△FDE∽△CDF，∴＝，∴＝.

【解析】試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，由點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，得到 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到 根據(jù)平行線分線段成比例定理得到等量代換得到 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

于是得到結(jié)論．

試題解析：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD＝BC.

∵點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，

∵∠FCE＝∠CBE，∠F＝∠F，

∴△FCE∽△FBC，

又∵

∴CF＝2EF.

(2)∵四邊形ABCD是正方形，

∴DE∥AB，AD∥BC，AD＝CD，

∵AF∥BC，

∴∠DFE＝∠CBE.

∵∠FCE＝∠CBE，

∴∠DFE＝∠FCE.

又∵∠FDE＝∠CDF，

∴△FDE∽△CDF，