Question

【題目】如圖1，的余切值為2，，點(diǎn)D是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，并延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)P．

（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列的線段和角中，________是始終保持不變的量（填序號(hào)）；

①；②；③；④；⑤；⑥；

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，線段的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（3）如果與相似，但面積不相等，求此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）④⑤；（2）；（3）或.

【解析】

（1）作于M，交于N，如圖，利用三角函數(shù)的定義得到，設(shè)，則，利用勾股定理得，解得，即，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，由于，則可判斷為定值；再利用得到，則可判斷為定值；在中，利用勾股定理和三角函數(shù)可判斷在變化，在變化，在變化；

（2）易得四邊形為矩形，則，證明，利用相似比可得到y與x的關(guān)系式；

（3）由于，與相似，且面積不相等，利用相似比得到，討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則，所以，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則，所以，然后分別解方程即可得到正方形的邊長(zhǎng)．

（1）如圖，作于M，交于N，

在中，∵，

設(shè)，則，

∵，

∴，解得，

∴，，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，

在中，∵，

∴，

∴，

在中，，

∴為定值；

∵，

∴，

∴為定值；

在中，，

而在變化，

∴在變化，在變化，

∴在變化，

所以和是始終保持不變的量；

故答案為：④⑤

（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，

∴四邊形為矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∴

（3）∵，與相似，且面積不相等，

∴，即，

∴，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，AP=AF+PF==，

∴，

解得，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，

∴，

解得，

綜上所述，正方形的邊長(zhǎng)為或．