Question

如圖，在平面直角示系中，A、B兩點的坐標分別是A（-1，0）、B（4，0），點C在y軸的負半軸上，且∠ACB=90°
（1）求點C的坐標；
（2）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（3）直線l⊥x軸，若直線l由點A開始沿x軸正方向以每秒1個單位的速度勻速向右平移，設運動時間為t（0≤t≤5）秒，運動過程中直線l在△ABC中所掃過的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

解：（1）已知A（-1，0），B（4，0），則OA=1，OB=4；
在Rt△ABC中，CO⊥AB，
由射影定理得：OC²=OA•OB=4，
即OC=2，
故C（0，-2）．

（2）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4），
依題意有：a（0+1）（0-4）=-2，a=，
故拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-4）=x²-x-2．

（3）①當0≤t≤1時，由題意知：AM=t；
∵直線l∥OC，且OC=2OA，
∴MN=2AM=2t；
故S=t•2t=t²；
②當1＜t≤5時，由于AM=t，AB=5，則BM=5-t；
∵直線l∥OC，且OB=2OC，
∴MN=BM=，
故S=×5×2-×=-t²+t-；
綜上可知：S、t的函數關系式為：
S=．
分析：（1）根據A、B的坐標，可求得OA、OB的長，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理即可求得OC的值，從而得到C點的坐標．
（2）已知了拋物線上的三點坐標，可利用待定系數法求得拋物線的解析式．
（3）此題應分段考慮：
①當0≤t≤1時，直線l掃過△ABC的部分是個直角三角形，設直線l與AC、AB的交點為M、N，易證得△AMN∽△ACO，根據相似三角形所得比例線段即可求得MN的值，從而利用三角形的面積公式求得S、t的函數關系式；
②當1＜t≤5時，直線l掃過△ABC的部分是個多邊形，設直線l與BC、AB的交點為M、N，同①可求得MN的長，即可得到△BMN的面積表達式，那么△ACB、△BMN的面積差即為直線l掃過部分的面積，由此求得S、t的函數關系式．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的性質、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識；（3）題中，一定要根據直線l的不同位置來分類討論，以免漏解．