Question

給出三條線(xiàn)段a=

3

+1，b=2，c=

6

．
（1）操作：
①求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；
②作∠C的角平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D；
（2）求：
①

AD

DB

的值；
②△ABC和△BCD的最小覆蓋圓的半徑r₁、r₂．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)三角形的作法，按步驟作出即可；
②按照角平分線(xiàn)的作法，作圖即可；
（2）①利用勾股定理得出AF²=AC²-FC²，AF²=AB²-BF²，求出三角形的角即可；
②利用三角形外接圓半徑公式求出即可．

解答：解：（1）①作射線(xiàn)在射線(xiàn)上截取a=BC，
再分別以B，C為圓心，c，b為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)即是A點(diǎn)位置，連接AB，AC即可得出△ABC，
②以C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以弧與角的兩邊交點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑，畫(huà)弧兩弧交點(diǎn)即是角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，連接即可；

（2）①作AF⊥BC，DE⊥BC，
假設(shè)CF=x，BF=

3

+1-x，
∴2²-x²=（

6

）²-（

3

+1-x）²，
解得：x=1，
∴BF=

3

，
AF=

3

，
∴∠BCA=60°，∠B=45°，
同理可得出：BE=DE=1，
∴BD=

2

，
∴AD=

6

-

2

，
∴

AD

DB

=

6 - 2

2

=

3

-1；
②∵三角形的外接圓半徑與邊角之間的關(guān)系為：
R=

a

2sinA

=

b

2sinB

=

c

2sinC

，
∴△ABC的最小覆蓋圓的半徑r₁=

2

2sinB

=

1

2 2

=

2

；
△BCD的最小覆蓋圓的半徑r₂=

BD

2sin30°

=

2

1

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了已知三邊作三角形以及角平分線(xiàn)的作法和勾股定理以及三角形的外接圓半徑與邊角之間的關(guān)系，熟練記憶相關(guān)公式求出三角形的角度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．