【題目】在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F,取FD的中點(diǎn)G,連接EG、CG,如圖(1),易證 EG=CG且EG⊥CG.
(1)將△BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖(2),則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請直接寫出你的猜想.
(2)將△BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)180°,如圖(3),則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請寫出你的猜想,并加以證明.
【答案】
解(1)EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)
(2)EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)
證明:延長FE交DC延長線于M,連MG
∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°
∴四邊形BEMC是矩形.
∴BE=CM,∠EMC=90°
又∵BE=EF
∴EF=CM
∵∠EMC=90°,FG=DG
∴MG=FD=FG
∵BC="EM" ,BC=CD
∴EM=CD
∵EF=CM
∴FM=DM
∴∠F=45°
又FG=DG
∵∠CMG=∠EMC=45°
∴∠F=∠GMC
∴△GFE≌△GMC
∴EG="CG" ,∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)
∵∠FMC=90°,MF=MD, FG="DG"
∴MG⊥FD
∴∠FGE+∠EGM=90°
∴∠MGC+∠EGM=90°
即∠EGC=90°
∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)
【解析】
試題從圖(1)中尋找證明結(jié)論的思路:延長FE交DC邊于M,連MG.構(gòu)造出△GFE≌△GMC.易得結(jié)論;在圖(2)、(3)中借鑒此解法證明.
解:(1)EG=CG,EG⊥CG.
(2)EG=CG,EG⊥CG.
證明:延長FE交DC延長線于M,連MG.
∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,
∴四邊形BEMC是矩形.
∴BE=CM,∠EMC=90°,
由圖(3)可知,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,
∴∠EBF=45°,
又∵EF⊥AB,
∴△BEF為等腰直角三角形
∴BE=EF,∠F=45°.
∴EF=CM.
∵∠EMC=90°,FG=DG,
∴MG=FD=FG.
∵BC=EM,BC=CD,
∴EM=CD.
∵EF=CM,
∴FM=DM,
又∵FG=DG,
∠CMG=∠EMC=45°,
∴∠F=∠GMC.
∵在△GFE與△GMC中,,
∴△GFE≌△GMC(SAS).
∴EG=CG,∠FGE=∠MGC.
∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,
∴MG⊥FD,
∴∠FGE+∠EGM=90°,
∴∠MGC+∠EGM=90°,
即∠EGC=90°,
∴EG⊥CG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項(xiàng)目之一,運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運(yùn)動員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點(diǎn)時,水平距離為( )
A. 10mB. 20mC. 15mD. 22.5m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,,,對角線AC,BD交于點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向勻速運(yùn)動,速度為;同時,點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DC方向勻速運(yùn)動,速度為;當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時,另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動連接PO并延長,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作,交BD于點(diǎn)設(shè)運(yùn)動時間為,解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,是等腰三角形;
(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為,試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=900,∠B=∠E=300.
(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時,填空:線段DE與AC的位置關(guān)系是 ;
② 設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2。則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 。
(2)猜想論證
當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC,CE邊上的高,請你證明小明的猜想。
(3)拓展探究
已知∠ABC=600,點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn),BD=CD=4,OE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖4),若在射線BA上存在點(diǎn)F,使S△DCF =S△BDC,請直接寫出相應(yīng)的BF的長
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:①b2>4ac;②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1,x2=3;③當(dāng)y>0時,x的取值范圍是﹣1<x≤3;④當(dāng)x>0時,y隨x增大而增大.⑤a>-c上述五個結(jié)論中正確的有_________(填序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=xm.
(1)若花園的面積為192m2, 求x的值;
(2)若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細(xì)),求花園面積S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對“第二十屆中國哈爾濱冰雪大世界”主題景觀的了解情況,在全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖的不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生;
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形圖;
(3)若該學(xué)校共有名學(xué)生,請你估計(jì)該學(xué)校選擇“比較了解”項(xiàng)目的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列四個條件:①AB=BC,②∠ABC=90,③AC=BD,④AC⊥BD.從中選取兩個作為補(bǔ)充條件,使□BCD為正方形(如圖).現(xiàn)有下列四種選法,其中錯誤的是 ( )
A. ②③ B. ②④ C. ①② D. ①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,直線DE是⊙O的切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),DE∥BC;
(1)如圖1.求證:AB=AC;
(2)如圖2.點(diǎn)P是弧AB上一動點(diǎn),連接PA、PB,作PF⊥PB,垂足為點(diǎn)P,PF交⊙O于點(diǎn)F, 求證:∠BAC=2∠APF;
(3)如圖3.在(2)的條件下,連接PC,PA=,PB=,PC=,求線段PF的長.
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