【題目】在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥ABBD于點(diǎn)F,取FD的中點(diǎn)G,連接EG、CG,如圖(1),易證 EG=CGEG⊥CG

1)將△BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖(2),則線段EGCG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請直接寫出你的猜想.

2)將△BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)180°,如圖(3),則線段EGCG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請寫出你的猜想,并加以證明.

【答案】

解(1EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2)

2EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2)

證明:延長FEDC延長線于M,連MG

∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°

四邊形BEMC是矩形.

∴BE=CM∠EMC=90°

∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°,FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC="EM" ,BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG="CG" ,∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2)

∵∠FMC=90°,MF=MD, FG="DG"

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

∠EGC=90°

∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2)

【解析】

試題從圖(1)中尋找證明結(jié)論的思路:延長FEDC邊于M,連MG.構(gòu)造出△GFE≌△GMC.易得結(jié)論;在圖(2)、(3)中借鑒此解法證明.

解:(1EG=CG,EG⊥CG

2EG=CGEG⊥CG

證明:延長FEDC延長線于M,連MG

∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,

四邊形BEMC是矩形.

∴BE=CM∠EMC=90°,

由圖(3)可知,

∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,

∴∠EBF=45°,

∵EF⊥AB,

∴△BEF為等腰直角三角形

∴BE=EF,∠F=45°

∴EF=CM

∵∠EMC=90°,FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC=EM,BC=CD,

∴EM=CD

∵EF=CM,

∴FM=DM,

∵FG=DG,

∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

△GFE△GMC中,

∴△GFE≌△GMCSAS).

∴EG=CG,∠FGE=∠MGC.

∵∠FMC=90°,MF=MDFG=DG,

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°,

∴∠MGC+∠EGM=90°,

∠EGC=90°

∴EG⊥CG

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項(xiàng)目之一,運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運(yùn)動員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系yax2+bx+ca0).如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的xy的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點(diǎn)時,水平距離為(

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1)當(dāng)t為何值時,是等腰三角形;

2)設(shè)五邊形OECQF的面積為,試確定St的函數(shù)關(guān)系式.

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【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABCDEC重合放置,其中C=900,B=E=300.

1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定ABC,使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時,填空:線段DEAC的位置關(guān)系是 ;

設(shè)BDC的面積為S1,AEC的面積為S2。則S1S2的數(shù)量關(guān)系是 。

2)猜想論證

當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了BDCAECBC,CE邊上的高,請你證明小明的猜想。

3)拓展探究

已知ABC=600點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn),BD=CD=4OEABBC于點(diǎn)E(如圖4),若在射線BA上存在點(diǎn)F,使SDCF =SBDC,直接寫出相應(yīng)的BF的長

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【題目】在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=xm.

1)若花園的面積為192m2, x的值;

2)若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細(xì)),求花園面積S的最大值.

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(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生;

(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形圖;

(3)若該學(xué)校共有名學(xué)生,請你估計(jì)該學(xué)校選擇比較了解項(xiàng)目的學(xué)生有多少名?

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A. ②③ B. ②④ C. ①② D. ①③

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【題目】.如圖,⊙OABC的外接圓,直線DE是⊙O的切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),DEBC;

1)如圖1.求證:AB=AC

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3)如圖3.在(2)的條件下,連接PC,PA=PB=,PC=,求線段PF的長.

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