Question

已知：在如圖1所示的銳角三角形ABC中，CH⊥AB于點H，點B關(guān)于直線CH的對稱點為D，AC邊上一點E滿足∠EDA=∠A，直線DE交直線CH于點F．

 (1) 求證：BF∥AC；

 (2) 若AC邊的中點為M，求證：；

 (3) 當(dāng)AB=BC時（如圖2），在未添加輔助線和其它字母的條件下，找出圖2中所有與BE相等的線段，并證明你的結(jié)論．

 

               圖1                                     圖2

Answer 1

證明：（1）如圖6．

              ∵ 點B關(guān)于直線CH的對稱點為D，

CH⊥AB于點H，

直線DE交直線CH于點F，

∴ BF=DF，DH=BH．

∴ ∠1=∠2．

又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，

∴ ∠A＝∠2．

∴ BF∥AC．

（2）取FD的中點N，連結(jié)HM、HN.

     ∵ H是BD的中點，N是FD的中點，

∴ HN∥BF．

由（1）得BF∥AC，

∴ HN∥AC，即HN∥EM．

∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

AC邊的中點為M，

∴ ．

∴ ∠A＝∠3．

∴ ∠EDA=∠3．

∴ NE∥HM．

∴ 四邊形ENHM是平行四邊形∴ HN=EM．

∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中點為N，

∴ ，即．

∴ ． ………………………………………………………… 4分

（3）當(dāng)AB=BC時，在未添加輔助線和其它字母的條件下，原題圖2中所有與BE相等的線段是EF和CE． （只猜想結(jié)論不給分）

     證明：連結(jié)CD．（如圖8）

              ∵ 點B關(guān)于直線CH的對稱點為D，CH⊥AB于點H，

∴  BC=CD，∠ABC＝∠5．

     ∵  AB＝BC，

∴ ，

 AB＝CD．①

∵ ∠EDA=∠A，

∴ ，AE=DE．②

∴ ∠ABC＝∠6=∠5．

∵ ∠BDE是△ADE的外角，

∴ ．

∵ ，

∴ ∠A＝∠4．③

          由①，②，③得 △ABE≌△DCE．………………………………………5分

          ∴ BE= CE． ……………………………………………………………… 6分

              由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．

              由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．

              ∴ ∠CFE=∠ECF．

              ∴ EF=CE．

              ∴ BE=EF． ……………………………………………………………… 7分

              ∴ BE=EF=CE．

（閱卷說明：在第3問中，若僅證出BE=EF或BE=CE只得2分）