Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，DE=EC，過點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于F，過E作EG⊥BC于G，延長(zhǎng)GE交AD于H．
（1）求證：AH=HD；
（2）若cos∠C=

4

5

，DF=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD；

（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C=

4

5

，DF=9，
∴tan∠DBF=

3

4

，
∴BD=

DF

tan∠DBF

=12，
∵∠A=∠C，
∴sin∠A=

3

5

，
∴AB=

BD

sin∠A

=20，
∴⊙O的半徑為10．