【題目】如圖,在內(nèi)部做平分,,,點(diǎn)的中點(diǎn):動(dòng)點(diǎn)出發(fā),沿運(yùn)動(dòng),速度為每秒5個(gè)單位,動(dòng)點(diǎn)出發(fā),沿運(yùn)動(dòng),速度為每秒8個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng);過(guò)、;

1)判斷的形狀為________,并判斷的位置關(guān)系為__________

2)求為何值時(shí),相切?求出此時(shí)的半徑,并比較半徑與劣弧長(zhǎng)度的大。

3)直接寫(xiě)出的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為__________;(注:當(dāng)、重合時(shí),內(nèi)心就是點(diǎn))

4)直接寫(xiě)出線段有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍為__________

(參考數(shù)據(jù):,,

【答案】1△AEF為等腰三角形;DA相切;(2)劣弧長(zhǎng)度>半徑;(3的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為;(4)線段有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍為.

【解析】

1)過(guò)點(diǎn)EEH⊥AF于點(diǎn)H,連接OH,OA,證明△AEH∽△ABC,得到AH=FH,即可證明為等腰三角形;根據(jù)圓周角和圓心角證明∠DAC=∠AOE,即可證明∠DAO=90°;

2)連接EO,AO,OF,交AC于點(diǎn)H,根據(jù)相切知四邊形EHCN為矩形,從而求出t,在Rt△AOH中,根據(jù)勾股定理求出半徑,然后求出∠AOH的度數(shù)即可比較;

3)得到的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為AG,然后根據(jù)面積求出內(nèi)切圓半徑,從而求出AG長(zhǎng);

4)分別討論兩種極限位置,①當(dāng)MN相切時(shí),②當(dāng)N在圓上時(shí),即ON為半徑,分別求出t的值,即可確定t的取值范圍.

解:(1)過(guò)點(diǎn)EEH⊥AF于點(diǎn)H,連接OH,OA

,,

,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

∴AE=5t,AF=8t

∵EH⊥AF,

∴△AEH∽△ABC,

,即,

∴FH=4t,

∴AH=FH

∴△AEF為等腰三角形;

E的中點(diǎn),

∴HAF的中點(diǎn),

∴OH垂直AC,

∴∠OAF+∠AOE=90°,

∴∠AOE=2∠EFA

∵AB平分∠DAC,∠EAC=∠EFA,

∴∠DAC=∠AOE,

∴∠DAC+AOE=90°

∴∠DAO=90°,

∴DA相切;

2)連接EO,AO,OF,交AC于點(diǎn)H,

由(1)知EHAC,

∵EN相切,

∴∠OEN=90°,

四邊形EHCN為矩形,

Rt△AHE中,

∴NC=EH=3t,

∵NBC中點(diǎn),

∴BC=6t,

∵BC=6,

∴6t=6

解得:t=1,

∴AH=4,EH=3

設(shè)半徑為x,

∴OH=x-3,

Rt△AOH中,

,

解得:,

,

∴∠AOH=74°,

∴∠AOH60°,

∴AE>半徑,

∴劣弧長(zhǎng)度>半徑;

3)當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),

t=10÷5=2,

∴AF=2×8=16

此時(shí)△AEF的內(nèi)心記為G,

當(dāng)A、E、F三點(diǎn)重合時(shí),內(nèi)心為A,

的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為AG,

作GP⊥AE于點(diǎn)P,GQ⊥EF于點(diǎn)Q,

SAEF=,

設(shè)CG=a

∴SAEF=SAGF+SAEG+SFEG,

解得:,

Rt△ACG中,

,即,

∴AG=

的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為;

4)分別討論兩種極限位置,

①當(dāng)MN相切時(shí),

由(2)知,t=1;

②當(dāng)N在圓上時(shí),即ON為半徑,如圖所示:

OE=ON,

∴AH=4tEH=3t,

設(shè)半徑為x

則在Rt△AOH中,

,

解得:,

∴CK=OH=,

Rt△OKN中,

,

解得:

線段有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖1,折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,折痕交、分別于點(diǎn)、,若,則________

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