Question

（2013•嘉定區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y=ax²+4ax+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（0，4），B（-3，1），頂點(diǎn)為G．
（1）求該拋物線的表達(dá)方式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將（1）中求得的拋物線沿y軸向上平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線與y軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D．當(dāng)△ACD時(shí)等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在（1）中求得的拋物線的對(duì)稱軸上，聯(lián)結(jié)PO，將線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到線段PO′，若點(diǎn)O′恰好落在（1）中求得的拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式，配方后即可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由平移規(guī)律即C的坐標(biāo)表示出D的坐標(biāo)，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由圖形得到∠DAC為鈍角，三角形ACD為等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的長(zhǎng)，即為m的值，即可確定出D的坐標(biāo)；
（3）由P在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)出P坐標(biāo)為（-2，n），如圖所示，過(guò)O′作O′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)P作PN⊥O′M，垂足為N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對(duì)邊相等，再由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)一對(duì)直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN為矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標(biāo)，將O′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)n的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A，B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：

c=4 9a-12a+c=1

，
解得：

c=4 a=1

，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2，0）；
（2）由題意得：D（0，m+4），
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，
根據(jù)勾股定理得：AC=

OA2+OC2

=2

5

，
由圖形得到∠DAC為鈍角，要使△ACD為等腰三角形，只有DA=AC=2

5

，
∴DA=m=2

5

，
則D坐標(biāo)為（0，2

5

+4）；
（3）設(shè)P（-2，n），如圖所示，過(guò)O′作O′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)P作PN⊥O′M，垂足為N，
易得PO=PO′，∠PCO=∠PNO′=90°，∠CPO=∠NPO′，
∴△PCO≌△PNO′（AAS），
∴O′N=OC=2，PN=PC=|n|，
∵四邊形PCMN為矩形，
∴MN=PC=|n|，
①當(dāng)n＞0時(shí)，O′（n-2，n+2），代入拋物線解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2或n=-1（舍去）；
②當(dāng)n＜0時(shí)，O′（n-2，n+2），代入拋物線解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2（舍去）或n=-1，
綜上①②得到n=2或-1，
則P的坐標(biāo)為（-2，2），（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想，是一道中檔題．