Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（0，8），且它的對(duì)稱軸是直線x=-2．
（1）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AC，BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，點(diǎn)B）不重合，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）知道對(duì)稱軸了和x軸上另一點(diǎn)，就能求出該點(diǎn)．
（2）知道兩點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸就能求出拋物線的解析式．
（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，由題意可知△BEF∽△BAC，求出EF，過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂是為G，則sin∠FEG=sin∠CAB，進(jìn)而求出FG，由S=S_△BCE-S_△BFE，進(jìn)而求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）由S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，求得S的最大值，算出點(diǎn)E坐標(biāo)，判斷三角形的形狀．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-2，
∴由對(duì)稱性可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，0）；

（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上
∴c=8．
將A（-6，0），B（2，0）代入表達(dá)式得

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3

．
故所求解析式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．

（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即EF=

40-5m

4

，
過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂是為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

×

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE．
=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m），
=-

1

2

m²+4m，

（4）存在．理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S最大值=8，
∵m=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到求拋物線的表達(dá)式和求最值等知識(shí)點(diǎn)，題不是很難，但要注意細(xì)節(jié)．