如圖,半圓O的直徑AB=12cm,射線BM從與線段AB重合的位置起,以每秒6°的旋轉(zhuǎn)速度繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至BP的位置,BP交半圓于E,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts(0<t<15),
(1)求E點(diǎn)在圓弧上的運(yùn)動(dòng)速度(即每秒走過的弧長(zhǎng)),結(jié)果保留π.
(2)設(shè)點(diǎn)C始終為
AE
的中點(diǎn),過C作CD⊥AB于D,AE交CD、CB分別于G、F,過F作F精英家教網(wǎng)N∥CD,過C作圓的切線交FN于N.
求證:①CN∥AE;
②四邊形CGFN為菱形;
③是否存在這樣的t值,使BE2=CF•CB?若存在,求t值;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式直接求出即可;
(2)①利用圓周角定理和平行線的判定以及弦切角定理得出即可;
②利用平行四邊形的判定以及菱形判定得出即可;
③利用相似三角形的判定得出△ACF∽△BCA,再利用等腰三角形的知識(shí)得出當(dāng)t=10s時(shí),∠AOC=
1
2
∠AOE=60°,即可得出答案.
解答:(1)解:∵射線BM從與線段AB重合的位置起,以每秒6°的旋轉(zhuǎn)速度繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至BP的位置,
∴B一秒P轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角為12°,
∴每秒走過的弧長(zhǎng)為:
12π×6
180
=
2
5
πcm∕s;

(2)①證明:如圖所示:
∵點(diǎn)C始終為
AE
的中點(diǎn),過C作CD⊥AB于D,AE交CD、CB分別于G、F,過F作FN∥CD,過C作圓的切線交FN于N.
∴∠ACD+∠CAG=∠CGF,∠ABC=∠GAC=∠ACG,
∠MCA=∠ABC,
∴∠MCA+∠ACG=∠ACD+∠CAG,
∴CN∥AE;
②證明:∵FN∥CD,CN∥AE;
∴四邊形CGFN是平行四邊形,
∵∠GCF=90°-∠ACG,
∠CFG=∠EFB=90°-∠EBC,
∵∠EBC=∠ACD,
∴∠GCF=∠GFC,
∴CG=GF,
∴平行四邊形CGFN為菱形;
③解:連接EO,CO.精英家教網(wǎng)
存在,理由如下:
∵∠ACF=∠ACB,
∠CAF=∠CBA,
∴△ACF∽△BCA,
AC
BC
=
CF
AC
,
∴AC2=BC•CF,
∵當(dāng)t=10s時(shí),∠AOC=
1
2
∠AOE=60°,
∴∠BOE=60°,
∴△AOC,△BOE都是等邊三角形,且此時(shí)全等,
∴AC=BE,
∴BE2=BC•CF.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及圓周角定理、相似三角形的判定、菱形的判定等知識(shí),根據(jù)已知得出角之間等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,半圓O的直徑AD=12cm,AB,BC,CD分別與半圓O切于點(diǎn)A,E,D.
(1)設(shè)AB=x,CD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果CD=6,判斷四邊形ABCD的形狀;
(3)如果AB=4,求圖中陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,半圓O的直徑AD=12cm,AB、BC、CD分別與半圓O切于點(diǎn)A、E、D.
(1)線段AB、CD與BC之間有什么關(guān)系?并說明理由;
(2)設(shè)AB=x,CD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果AB=4,求圖中陰影部分的面積.

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如圖,半圓O的直徑為6cm,∠BAC=30°,則陰影部分的面積是(  )

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如圖,半圓O的直徑AB=20,將半圓O繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′,與AB交于點(diǎn)P.
(1)求AP的長(zhǎng).
(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).

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