【題目】已知等腰直角和等腰直角如圖放置,,,,其中,、、在一條直線上,連接并延長交于,
(1)求證:
(2)與有什么位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
(3)若,與有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)BF⊥AC,理由見解析;(3)BF=2AE,理由見解析.
【解析】
(1)利用SAS定理證明△BDF≌△ADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBF=∠DAC,得到∠BEA=90°即可證明;
(3)根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AE=AC,結(jié)合(1)中結(jié)論證明即可.
解答:(1)證明:
在△BDF和△ADC中,,
∴△BDF≌△ADC(SAS)
∴BF=AC;
(2)BF⊥AC,
理由:∵△BDF≌△ADC,
∴∠DBF=∠DAC,
∵∠DBF+∠DFB=90°,∠DFB=∠EFA,
∴∠EFA+∠DAC=90°,
∴∠BEA=90°,
∴BF⊥AC;
(3)若AB=BC,BF=2AE,
理由:∵AB=BC,BF⊥AC,
∴AE=AC,
∵BF=AC,
∴BF=2AE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象,我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題.下面我們來探究“由數(shù)思形,以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用.
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的幾何意義
如圖①,在以O為原點(diǎn)的數(shù)軸上,設(shè)點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)是x﹣1,有絕對(duì)值的定義可知,點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為
|x﹣1|,可記為A′O=|x﹣1|.將線段A′O向右平移1個(gè)單位得到線段AB,此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1.因?yàn)?/span>AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因?yàn)閿?shù)軸上3和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2,所以方程的解為3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因?yàn)?/span>|x﹣1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離,所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍.請(qǐng)寫出這個(gè)解集:_________________________________.
探究二:探究的幾何意義
(1)探究的幾何意義
如圖③,在直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),過M作MP⊥x軸于P,作MQ⊥y軸于Q,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,則,因此,的幾何意義可以理解為點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)O(0,0)之間的距離MO.
(2)探究的幾何意義
如圖④,在直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,,將線段A′O先向右平移1個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位,得到線段AB,此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,5),因?yàn)?/span>AB=A′O,所以,因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(1,5)之間的距離AB.
(3)探究的幾何意義,根據(jù)探究二(2)所得的結(jié)論,請(qǐng)寫出的幾何意義可以理解為:________________.
(4)的幾何意義可以理解為:________________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上,將△BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處;點(diǎn)G在AF上,將△ABG沿BG折疊,點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處,有下列結(jié)論:
①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.
其中正確的是__.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,E點(diǎn)正好落在邊CD上,連接BE,BG,且BG交AE于P.
(1)求證:∠CBE=∠BAE;
(2)求證:PG=PB;
(3)若AB=,BC=3,求出BG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:△AOE≌△COF;
(2)若∠EOD=30°,求CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠C=120°,AD=4,AB=2,點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn).連接AH、HG,點(diǎn)E為AH的中點(diǎn),點(diǎn)F為GH的中點(diǎn),連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,,點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),、分別平分和交于點(diǎn)、.
(1)請(qǐng)說明:;
(2)當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí),請(qǐng)寫出和之間滿足的數(shù)量關(guān)系為______;
(3)若,則當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使得時(shí),請(qǐng)直接寫出______(用含的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,MN是⊙O的直徑,MN=2a,∠AMN=40°,點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則 PA+PB的最小值為_____.(用含a的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】說明:在解答“結(jié)論應(yīng)用”時(shí),從(A),(B)兩題中仸選一題做答.
問題探究
啟知學(xué)習(xí)小組在課外學(xué)習(xí)時(shí),發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問題:如圖(1),在四邊形ABCD中,連接AC,BD,如果△ABC與△BCD的面積相等,那么AD∥BC.在小組交流時(shí),他們?cè)趫D(1)中添加了如圖所示的輔助線,AE⊥BC于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F.請(qǐng)你完成他們的證明過程.
結(jié)論應(yīng)用
在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b)兩點(diǎn),過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D.
(A)(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖(2),已知b=1,AC,BD相交于點(diǎn)E,求證:CD∥AB.
(B)(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖(3),若點(diǎn)B在第三象限,判斷并證明CD與AB的位置關(guān)系.
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