Question

如果拋物線與x軸都交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)在x同的負(fù)半軸上，OA的長(zhǎng)是a，OB的長(zhǎng)是b．

（1）求m的取值范圍；

（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并寫(xiě)出此時(shí)拋物線的解析式；

（3）設(shè)（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問(wèn)：拋物線上是否存 在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng) 說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，0）、（x₂，0），

∵A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，

∴ x₁x₂<0，即-（m+1）<0，

解得  m>-1．

∵

    

當(dāng)m>-1時(shí)，Δ>0，

∴m的取值范圍是m>-1．

（2）∵a∶b=3∶1，設(shè)a=3k，b=k（k>0），

則x₁=3k，x₂=-k，

∴

解得．

∵時(shí)，（不合題意，舍去），

∴m=2

∴拋物線的解析式是．

（3）易求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是A（3，0），B（-1，0）

與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是C（0，3），頂點(diǎn)坐標(biāo)是M（1，4）．

設(shè)直線BM的解析式為，

則

解得 

∴直線BM的解析式是y=2x+2．

設(shè)直線BM與y軸交于N，則N點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），

∴

        

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x,y），

∵，

∴．

即．

∴．∴．

當(dāng)y=4時(shí)，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合，即P（1，4），

當(dāng)y=-4時(shí)，-4=-x²+2x+3，

解得．

∴滿足條件的P點(diǎn)存在．

P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），．