Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)＝λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長(zhǎng)．

（2）連接EG，若EG⊥AF，

①求證：點(diǎn)G為CD邊的中點(diǎn)．

②求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）①見(jiàn)解析；②λ＝

【解析】

（1）根據(jù)AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到EF的長(zhǎng)，從而可以得到線段CF的長(zhǎng)；

（2）①要證明點(diǎn)G為CD邊的中點(diǎn)，只要證明△ADG≌△FGC即可，然后根據(jù)題目中的條件，可以得到△ADG≌△FGC的條件，從而可以證明結(jié)論成立；

②根據(jù)題意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．

解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

又∵AG平分∠DAE，

∴∠DAG＝∠EAG，

∴∠EAG＝∠F，

∴EA＝EF，

∵AB＝2，∠B＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴BE＝EC＝1，

∴AE＝＝，

∴EF＝，

∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；

（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，

∴AG＝FG，

在△ADG和△FCG中

，

∴△ADG≌△FCG（AAS），

∴DG＝CG，

即點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)；

②設(shè)CD＝2a，則CG＝a，

由①知，CF＝DA＝2a，

∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，

∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，

∴∠EGC＝∠F，

∴△EGC∽△GFC，

∴，

∵GC＝a，FC＝2a，

∴，

∴，

∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，

∴λ＝．