【題目】如圖①,在正方形ABCD中,△AEF的頂點E,F分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,
(1)求∠EAF的度數(shù);
(2)在圖①中,連結BD分別交AE、AF于點M、N,將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置,連結MH,得到圖②.求證:MN2=MB2+ ND2 ;
(3)在圖②中,若AG=12, BM=,直接寫出MN的值.
【答案】(1)45°;(2)證明見解析;(3).
【解析】(1)∵正方形ABCD,AG⊥EF,
∴AG=AB,∠ABE=∠AGE=∠BAD=90°,AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE,∴∠BAE=∠GAE,……………………………………2分
同理Rt△ADF≌Rt△AGF,∴∠GAF=∠DAF,…………………………………4分
∴∠EAF=∠BAD=45°;…………………………………………………………5分
(2)證明:由旋轉知,∠BAH=∠DAN,AH=AN,……………………………………7分
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=∠BAM+∠DAN =45°,
∴∠HAM=∠NAM,AM=AM,
∴△AHM≌△ANM,…………………………………………………………………8分
∴MN=MH,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB=∠ABD=45°
由旋轉知,∠ABH=∠ADB=45°,HB=ND,
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°,……………………………………………………9分
∴,∴;…………………………………10分
(3).…………………………………………………………………………………12分
以下解法供參考∵,∴;
在(2)中,
設,則.
∴.即.
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【題目】南崗區(qū)某中學的王老師統(tǒng)計了本校九年一班學生參加體育達標測試的報名情況,并把統(tǒng)計的數(shù)據(jù)繪制成了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)回答下列問題:
(1)該學校九年一班參加體育達標測試的學生有多少人?
(2)補全條形統(tǒng)計圖的空缺部分;
(3)若該年級有1200名學生,估計該年級參加仰臥起坐達標測試的有多少人?
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【題目】如圖1,在△ABC中,按如下步驟作圖:①以點A為圓心,AB長為半徑畫。虎谝渣cC為圓心,CB長為半徑畫弧,兩弧相交于點D;③連結BD,與AC交于點E,連結AD,CD.
(1)填空:△ABC≌△ ;AC和BD的位置關系是
(2)如圖2,當AB=BC時,猜想四邊形ABCD是什么四邊形,并證明你的結論.
(3)在(2)的條件下,若AC=8cm,BD=6cm,則點B到AD的距離是 cm,若將四邊形ABCD通過割補,拼成一個正方形,那么這個正方形的邊長為 cm.
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【題目】25 日某路段雷達測速區(qū)監(jiān)測到一組汽車時速數(shù)據(jù),經(jīng)整理得到如下頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖(每組含后一邊界值,不含前一邊界值).
(1)請你把表中的數(shù)據(jù)填寫完整.
(2)補全頻數(shù)直方圖.
(3)若該路段限速 70(汽車時速高于 70 千米/小時即為違章),抽測到違章車輛有多少輛?統(tǒng)計表明 25 日全天通過這個路段的汽車大約有 15000 輛,請估計這天超速違章的車輛有多少輛?
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【題目】某廠計劃每天生產(chǎn)零件個,但實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入. 下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)數(shù)量記為正、減產(chǎn)數(shù)量記為負):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 |
(1)由表可知該廠星期四生產(chǎn)零件 個,這周實際生產(chǎn)零件 個.(用含的代數(shù)式表示)
(2) 產(chǎn)量最高日比最低日多生產(chǎn)零件 個.
(3) 若該周廠計劃每天生產(chǎn)零件數(shù)是,每個零件應支付工資元,且每天超計劃數(shù)的零件每個另獎元,那這周實際應支付工資多少元?
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【題目】如圖1,點O為直線AB上一點,過O點作射線OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,將一直角三角板的直角頂點放在點O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置,使得ON落在射線OB上,此時三角板旋轉的角度為 度;
(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置,使得ON在∠AOC的內(nèi)部.試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系,并說明理由;
(3)在上述直角三角板從圖1逆時針旋轉到圖3的位置的過程中,若三角板繞點O按15°每秒的速度旋轉,當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時,求此時三角板繞點O的運動時間t的值。
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【題目】(1)如圖1,在Rt△ABC和Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,且點D在BC邊上滑動(點D不與點B,C重合),連接EC,
①則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關系式為 ;
②求證:BD2+CD2=2AD2;
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的長.
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【題目】新定義:若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍,則∠α叫做∠β的n倍角.
(1)若∠M=10°21′,請直接寫出∠M的3倍角的度數(shù);
(2)如圖1,若∠AOB=∠BOC=∠COD,請直接寫出圖中∠AOB的所有2倍角;
(3)如圖2,若∠AOC是∠AOB的3倍角,∠COD是∠AOB的4倍角,且∠BOD=90°,求∠BOC的度數(shù).
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過點A(2,﹣3),與x軸負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D在y軸上,且∠BDO=∠BAC,求點D的坐標;
(3)點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,是否存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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