【題目】如圖,已知:梯形ABCD中,∠ABC=90°,∠DAB=45°,AB∥DC,DC=3,AB=5,點P在AB邊上,以點A為圓心AP為半徑作弧交邊DC于點E,射線EP于射線CB交于點F.
(1)若AP,求DE的長;
(2)聯(lián)結(jié)CP,若CP=EP,求AP的長;
(3)線段CF上是否存在點G,使得△ADE與△FGE相似?若相似,求FG的值;若不相似,請說明理由.
【答案】(1)1;(2)AP;(3)FG=31.
【解析】
(1)如圖,過點A,作AH//BC,交CD的延長線于點H,在Rt△AHE中求出AE,即可求解;
(2)設(shè):AP=x,利用△APE∽△PEC,得出PC2=CEAP,利用勾股定理得出PC2=PB2+BC2,即可求解;
(3)利用△ADE∽△FGE,得到3α=45°,進而求出相應(yīng)線段的長度,再利相似比,即可求解.
解:(1)如圖1中,過點A,作AH∥BC,交CD的延長線于點H.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠C=180°,
∵∠ABC=90°,
∴∠C=∠ABC=∠H=90°,
∴四邊形AHCB是矩形,
∴AB=CH=5,∵CD=3,
∴DH=CH﹣CD=2,
∵∠HAB=90°,∠DAB=45°,
∴∠HAD=∠HDA=45°
∴HD=AH=2,AE=AP,
根據(jù)勾股定理得,HE3,則ED=1;
(2)連接CP,設(shè)AP=x.
∵AB∥CD,
∴∠EPA=∠CEP,即等腰△APE、等腰△PEC兩個底角相等,
∴△APE∽△PEC,∴,
即:PE2=AECE,
而EC=2PB=2(5﹣x),
即:PC2=CEAP=2(5﹣x)x,
而PC2=PB2+BC2,即:PC2=(5﹣x)2+22,
∴2(5﹣x)x=(5﹣x)2+22,
解得:x(不合題意值已舍去),
即:AP;
(3)如圖3中,在線段CF上取一點G,連接EG.
設(shè)∠F=α,則∠APE=∠AEP=∠BPF=90°﹣α,
則:∠EAP=180°﹣2∠APE=2α,
∵△ADE∽△FGE,設(shè)∠DAE=∠F=α,
由∠DAB=45°,可得3α=45°,2α=30°,
在Rt△ADH中,AH=DH=2,
在Rt△AHE中,∠HEA=∠EAB=2α=30°,∠HAE=60°,
∴HE=AHtan∠HAE=2,
∴DE=HE﹣HD=22,
EC=HC﹣HE=5﹣2,
∵△ADE∽△FGE,
∴∠ADC=∠EGF=135°,
則∠CEG=45°,
∴EGEC=52,
∴,
即:,
解得:FG=31.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(探究與創(chuàng)新):已知A、B在數(shù)軸上分別表示a、b
①對照數(shù)軸填寫下表:
a | 6 | ﹣6 | ﹣6 | 2 | ﹣1.5 |
b | 4 | 0 | ﹣4 | ﹣10 | ﹣1.5 |
A、B兩點的距離 | 2 |
|
|
| 0 |
②若A、B兩點間的距離記為d,則d和a、b之間有何數(shù)量關(guān)系?(直接寫出結(jié)果)
③在數(shù)軸上標出所有符合條件的整數(shù)點P使它到5和﹣5的距離之和為10,并求出所有這些整數(shù)的和.
④若點Q表示的數(shù)為x,當(dāng)點Q在什么位置時,|x+1|+|x﹣2|有最小值?最小值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,電腦繡花設(shè)計師準備在長120cm,寬8cm的矩形ABCD模板區(qū)域內(nèi)設(shè)計繡花方案,現(xiàn)將其劃分為區(qū)域Ⅰ(2個全等的五邊形),區(qū)域Ⅱ(2個全等的菱形),區(qū)域Ⅲ(正方形EFGH中減去與2個菱形重合的部分),剩余為不刺繡的空白部分:點O是整副圖形的對稱中心EG∥AB,H,F分別為2個菱形的中心,MH=2PH,HQ=2OQ,為了美觀,要求MT不超過10cm.若設(shè)OQ=x(cm),x為正整數(shù).
(1)用含x的代數(shù)式表示區(qū)域Ⅲ的面積;
(2)當(dāng)矩形ABCD內(nèi)區(qū)域Ⅰ的面積最小時,圖案給人的視覺感最好.求此時MN的長度;
(3)區(qū)域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的刺繡方式各有不同.區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅲ所用的總針數(shù)之比為29:19,區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ每平方厘米所用的針數(shù)分別為a,b針(a,b均為整數(shù),a>b),區(qū)域Ⅲ的面積為正整數(shù).這時整個模板的總針數(shù)為12960針,則a+b= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=x2+(2k﹣1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使△AOB的面積等于6,求點B的坐標;
(3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使∠POB=90°?若存在,求出點P的坐標,并求出△POB的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點,以DE為邊作正方形DEFG,連接BF,點M是線段BF中點,射線EM與BC交于點H,連接CM.
(1)請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°,此時點F恰好落在線段CD上,如圖2,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;
(3)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時點E、G恰好分別落在線段AD、CD上,如圖3,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個等邊△AB1C1;再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個等邊△AB2C2;再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個等邊△AB3C3;…,記△B1CB2的面積為S1,△B2C1B3的面積為S2,△B3C2B4的面積為S3,如此下去,則Sn=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果從一個四邊形一邊上的點到對邊的視角是直角,那么稱該點為直角點.例如,如圖的四邊形ABCD中,點在邊CD上,連結(jié)、,,則點為直角點.若點、分別為矩形ABCD邊、CD上的直角點,且,,則線段的長為____.
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