Question

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如圖1，在平面之間坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|²，所以A，B兩點間的距離為AB= ．

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2，在平面直角坐標系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點，則A到原點的距離的平方為OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|²，當⊙O的半徑為r時，⊙O的方程可寫為：x²+y²=r²．

問題拓展：如果圓心坐標為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為�。� 綜合應用：

如圖3，⊙P與x軸相切于原點O，P點坐標為（0，6），A是⊙P上一點，連接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點B，連接AB．

①證明AB是⊙P的切點；

②是否存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q？若存在，求Q點坐標，并寫出以Q為圓心，以OQ為半徑的⊙O的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：問題拓展：設A（x，y）為⊙P上任意一點，

∵P（a，b），半徑為r，

∴AP²=（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²．

故答案為（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²；

綜合應用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中，

，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB．

∵⊙P與x軸相切于原點O，

∴∠POB=90°，

∴∠PAB=90°，

∴AB是⊙P的切線；

②存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q．

當點Q在線段BP中點時，

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ．

此時點Q到四點O，P，A，B距離都相等．

∵∠POB=90°，OA⊥PB，

∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA，

∴tan∠OBP==tan∠POA=．

∵P點坐標為（0，6），

∴OP=6，OB=OP=8．

過點Q作QH⊥OB于H，如圖3，

則有∠QHB=∠POB=90°，

∴QH∥PO，

∴△BHQ∽△BOP，

∴===，

∴QH=OP=3，BH=OB=4，

∴OH=8﹣4=4，

∴點Q的坐標為（4，3），

∴OQ==5，

∴以Q為圓心，以OQ為半徑的⊙O的方程為（x﹣4）²+（y﹣3）²=25．