Question

【題目】問題探究：探究與應用
（1）如圖1，在正方形ABCD中，AB=2，點E是邊AD的中點，請在對角線AC上找一點P，使得PE+PD的值最小，并求出這個最小值；（不用寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是邊BC的中點，若點P是邊AB上一動點，當△PED的周長最小時，求BP的長度；
問題解決：

（3）某市規(guī)劃在市中心廣場內(nèi)修建一個矩形的活動中心，如圖3，矩形OABC是它的規(guī)劃圖紙，其中A為入口，已知OA=30，OC=20，點E是邊AB的中點，以頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，點D是邊OA上一點，若將△ABD沿BD翻折，點A恰好落在邊BC上的點F處，在點F處設(shè)一出口，點M、N分別是邊OA、OC上的點，現(xiàn)規(guī)劃在點M、N、F、E四處各安置一個健身器材，并依次修建MN、NF、FE及EM四條小路，則是否存在點M、N，使得這四條小路的總長度最小？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BE交AC于P，如圖1所示：

則點P即為所求，

∴此時BE的長就是PE+PD的最小值，

∵在正方形ABCD中，AB=2，點E是邊AD的中點，

∴AD=AB=2，AE=DE= AD=1，PE+PD=BE= = ；

即PE+PD的最小值為

（2）解：作點E關(guān)于直線AB的對稱點E'，連接DE'，交AB于點P，連接PE、DE，如圖2所示：

則此時△PED的周長最小，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是邊BC的中點，

∴∠PBE'=∠C=90°，CD=AB=6，BE'=BE= BC=4，

又∵∠E'=∠E'，

∴△PBE'∽△DCE'，

∴ ，即 ，

解得：BP=2，

即當△PED的周長最小時，BP的長度為2

（3）解：作點E關(guān)于x軸的對稱點E'，作點F關(guān)于y軸的對稱點F'，連接E'F'，與x軸、y軸分別交于點M、N，連接MN、NF、FE、EM，如圖3所示：

則此時這四條小路的總長最小，且最小值為E'F'+EF的長，

由題意得：BC=OA=30，AB=OC=20，點E為AB中點，

∴AE'=AE=BE= AB=10，

∴E（30，10），E'（30，﹣10），

由折疊的性質(zhì)得：BF=AB=20，

∴CF'=CF=30﹣20=10，

∴F'（10，20），F(xiàn)'（﹣10，20），

∴EF= =10 ，

在Rt△BE'F'中，BF'=BC+CF'=40，BE'=AB+AE'=30，

∴E'F'= =50，

由對稱的性質(zhì)得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10 ，

即存在點M、N，使得這四條小路的總長度最小，這個最小值為50+10 ．

【解析】（1）解決“兩條線段之和最小值”的基本方法為對稱法；（2）利用對稱法，作出E關(guān)于直線AB的對稱點E'，連接DE'，交AB于點P，可證出△PBE'∽△DCE'，對應邊成比例列出方程，求出BP；（3）四條線段的和最小值仍可采用對稱法，轉(zhuǎn)化為兩條線段之和，即作點E關(guān)于x軸的對稱點E'，作點F關(guān)于y軸的對稱點F'，連接E'F'，與x軸、y軸分別交于點M、N，再由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求出結(jié)果.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對稱-最短路線問題的相關(guān)知識，掌握已知起點結(jié)點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結(jié)點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．