【題目】如圖,點B、C、D都在半徑為6的⊙O上,過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A,連接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)求弦BD的長;
(3)求圖中陰影部分的面積.

【答案】
(1)證明:連接OC,OC交BD于E,

∵∠CDB=30°,

∴∠COB=2∠CDB=60°,

∵∠CDB=∠OBD,

∴CD∥AB,

又∵AC∥BD,

∴四邊形ABDC為平行四邊形,

∴∠A=∠D=30°,

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°,即OC⊥AC

又∵OC是⊙O的半徑,

∴AC是⊙O的切線


(2)解:由(1)知,OC⊥AC.

∵AC∥BD,

∴OC⊥BD,

∴BE=DE,

∵在直角△BEO中,∠OBD=30°,OB=6,

∴BE=OBcos30°=3 ,

∴BD=2BE=6


(3)解:易證△OEB≌△CED,

∴S陰影=S扇形BOC

∴S陰影= =6π.

答:陰影部分的面積是6π


【解析】(1)連接OC,OC交BD于E,由∠CDB=∠OBD可知,CD∥AB,又AC∥BD,四邊形ABDC為平行四邊形,則∠A=∠D=30°,由圓周角定理可知∠COB=2∠D=60°,由內(nèi)角和定理可求∠OCA=90°,證明切線;(2)利用(1)中的切線的性質(zhì)和垂徑定理以及解直角三角形來求BD的長度;(3)證明△OEB≌△CED,將陰影部分面積問題轉(zhuǎn)化為求扇形OBC的面積.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解垂徑定理的推論的相關(guān)知識,掌握推論1:A、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧;推論2 :圓的兩條平行弦所夾的弧相等,以及對切線的判定定理的理解,了解切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

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