【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(3,0),B(1,0)兩點(diǎn)(如圖1),頂點(diǎn)為M.

(1)a、b的值;

(2)設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q(如圖1),直線y=2x+9與直線OM交于點(diǎn)D. 現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD.當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)移至N點(diǎn),求拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線MQ掃過的區(qū)域的面積;

(3)設(shè)直線y=2x+9y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)沒有公共點(diǎn)時(shí),試探求其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)h的取值范圍.

【答案】1a=1,b=4;(2MQ掃過的面積為;(3

【解析】

1)將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值.

2)連接MQ、DN后,由圖可以發(fā)現(xiàn)曲線MQ掃過的面積正好是MQND的面積;連接QD,則MQND的面積是兩倍的△MQD的面積,所以這道題實(shí)際求的是△MQD的面積;由(1)的拋物線解析式,不難求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo),聯(lián)立直線OM和直線CD的解析式可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo);以OQ為底,M、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對值為高即可得△MQD的面積,則此題可求.

3)在平移過程中,拋物線的開口方向和大小是不變的,即二次項(xiàng)系數(shù)不變;拋物線的頂點(diǎn)始終在直線OM上,根據(jù)直線OM的解析式(y=x)可表達(dá)出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)(h,h),可據(jù)此先設(shè)出平移后的拋物線解析式;若求平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)沒有公共點(diǎn)時(shí)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍,那么就要考慮到兩個(gè)關(guān)鍵位置:

①拋物線對稱軸右側(cè)部分經(jīng)過C點(diǎn)時(shí),拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h的值;

②拋物線對稱軸左側(cè)部分與直線CD恰好有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),h的值;

解:(1)將A-30),B-1,0)代入拋物線y=ax2+bx+3中,得:

,

解得:a=1、b=4

2)連接MQ、QD、DN

由圖形平移的性質(zhì)知:QNMD,即四邊形MQND是平行四邊形;

由(1)知,拋物線的解析式:y=x2+4x+3=x+22-1,則點(diǎn)M-2,-1),

當(dāng)x=0時(shí),y=3

Q0,3);

設(shè)直線OM的解析式為y=kx,

-2k=-1

k=,

∴直線OMy=x,聯(lián)立直線y=-2x+9,得:

,

解得

D);

曲線QM掃過的區(qū)域的面積:S=SMQND=2SMQD;

3)由于拋物線的頂點(diǎn)始終在y=x上,可設(shè)其坐標(biāo)為(h,h),設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x-h2+h;

當(dāng)平移后拋物線對稱軸右側(cè)部分經(jīng)過點(diǎn)C0,9)時(shí),有:

h2+h=9,解得:h=(依題意,舍去正值)

當(dāng)平移后的拋物線與直線y=-2x+9只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),依題意:

消去y,得:x2-2h-2x+h2+h-9=0

則:△=2h-22-4h2+h-9=-10h+40=0,解得:h=4

結(jié)合圖形,當(dāng)平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)沒有公共點(diǎn)時(shí),hh4

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C90°,BC3,AC5,點(diǎn)D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E,連接AE,則AE長的最小值為_____

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1)求證:BCCD;

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【題目】定義:如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn).如矩形OBCD中,點(diǎn)COB兩點(diǎn)的勾股點(diǎn),已知OD4,DC上取點(diǎn)E,DE=8

1)如果點(diǎn)EO,B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)(點(diǎn)E不在點(diǎn)C, 試求OB的長;

2)如果OB=12,分別以OB,OD為坐標(biāo)軸建立如圖2的直角坐標(biāo)系,在x軸上取點(diǎn)F(5,0).在線段DC上取點(diǎn)P, 過點(diǎn)P的直線ly軸,交x軸于點(diǎn)Q.設(shè)DP=t

當(dāng)點(diǎn)PDE之間,以EF為直徑的圓與直線l相切,試求t的值;

當(dāng)直線l上恰好有2點(diǎn)是E,F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)時(shí),試求相應(yīng)t的取值范圍.

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【題目】小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭所示方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30秒.他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過程.設(shè)小翔跑步的時(shí)間為t(單位:秒),他與教練的距離為y(單位:米),表示yt的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這個(gè)固定位置可能是圖1中的( )

A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q

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1)求證:CM=CN;

2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為31,求的值.

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【題目】為了解學(xué)生每天的睡眠情況,某初中學(xué)校從全校 800 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 40 名學(xué)生,調(diào)查了他們平均每天的睡眠時(shí)間(單位: h ,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

9,8,10.5,7,98,10,9.5,89,9.5,7.59.5,98.5,7.5,109.5,8,9,

7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.58.5,8.59,87.5,9.5,109.5,8.59,8,9.

在對這些數(shù)據(jù)整理后,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:

睡眠時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表 睡眠時(shí)間分布情況

組別

睡眠時(shí)間分組

人數(shù)(頻數(shù))

1

7t8

m

2

8t9

11

3

9t10

n

4

10t11

4

請根據(jù)以上信息,解答下列問題:

1 m = , n = , a = , b = ;

2)抽取的這 40 名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在 組(填組別) ;

3)如果按照學(xué)校要求,學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間應(yīng)不少于 9 h,請估計(jì)該校學(xué)生中睡眠時(shí)間符合要求的人數(shù).

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A.B.C.D.

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D是⊙O上一點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E,且∠ADE60°,C上一點(diǎn),連結(jié)AC,CD

1)求∠ACD的度數(shù);

2)證明:AD2ABAE;

3)如果AB8,∠ADC45°,請你編制一個(gè)計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并直接給出答案.(根據(jù)編出的問題層次,給不同的得分)

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